微突破(十) 不等式恒成立与能成立问题 例1 解:当x=0时,f(0)=1≥0,符合题意. 当x>0时,f(x)≥0等价于b≥, 由题意得b≥. 令g(x)=,x∈(0,+∞),则g'(x)=. 令h(x)=-2x3+x2+1,x∈(0,+∞),则h'(x)=-6x2+2x. 令h'(x)>0,得x∈,则h(x)在上单调递增; 令h'(x)<0,得x∈, 则h(x)在上单调递减. 所以当x=时,h(x)取得最大值,最大值为h=. 令x=0,则h(0)=1,则当x∈时,h(x)>0. 令h(x)=0,得x=1,又h(x)在上单调递减, 所以当x∈(0,1)时,h(x)>0, 当x∈(1,+∞)时,h(x)<0. 则当x∈(0,1)时,g'(x)=>0,当x∈(1,+∞)时,g'(x)=<0,所以g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, 则g(x)max=g(1)=-1,所以b≥-1,即b的取值范围为[-1,+∞). 变式 C [解析] 存在x0>0,使得f(x0)≤0有解,即a≤x-xln x(x>0)有解,即a≤(x-xln x)max,其中x>0,令g(x)=x-xln x,x>0,则g'(x)=1-(ln x+1)=-ln x,可得当x∈(0,1)时,g'(x)=-ln x>0,g(x)单调递增,当x∈(1,+∞)时,g'(x)=-ln x<0,g(x)单调递减,所以g(x)max=g(1)=1,所以a≤1,故选C. 例2 解:设g(x)=x3-x2+bx+1-ex,则由题意知,对任意x∈(-∞,0)都有g(x)≤0. 可得g'(x)=3x2-2x+b-ex. 令h(x)=g'(x),则h'(x)=6x-2-ex, 可得当x<0时,h'(x)<0,则g'(x)在(-∞,0)上单调递减, 故g'(x)>g'(0)=b-1. 当b≥1时,g'(x)>0在(-∞,0)上恒成立,故g(x)在(-∞,0)上单调递增, 所以g(x)
g(0)=0,这与题意矛盾.综上,b的取值范围为[1,+∞). 变式 解:依题意,只需[f(x0)-g(x0)]min<0,x0∈[1,e]即可. 令h(x)=f(x)-g(x)=x-aln x+,x∈[1,e],则h'(x)=1--==. 令h'(x)=0,可得x=a+1. ①当a+1≤1,即a≤0时,h'(x)≥0在[1,e]上恒成立,则h(x)在[1,e]上单调递增,所以h(x)min=h(1)=a+2<0,得a<-2. ②当12,a∈(0,e-1),不符合题意,舍去. ③当a+1≥e,即a≥e-1时,h'(x)≤0在[1,e]上恒成立,则h(x)在[1,e]上单调递减,则h(x)min=h(e)=e-a+<0,得a>,满足a>e-1. 综上所述,a的取值范围为(-∞,-2)∪. 例3 解:(1)存在x1∈[1,4],对任意x2∈[1,4],使得不等式f(x1)≤g(x2)成立,则f(x)min≤g(x)min.因为f(x)=x2-2ln x-m,所以f'(x)=2x-==≥0对任意的x∈[1,4]恒成立, 所以函数f(x)在区间[1,4]上单调递增,所以f(x)min=f(1)=1-m.函数g(x)=+m在区间[1,4]上单调递减,所以g(x)min=g(4)=m+. 所以1-m≤m+,解得m≥. 因此,实数m的取值范围是. (2)存在x1,x2∈[1,4],使得f(x1)-f(x2)≥M成立,则M≤[f(x1)-f(x2)]max,则M≤f(x)max-f(x)min. 由(1)可知,函数f(x)在区间[1,4]上单调递增,则f(x)min=f(1)=1-m,f(x)max=f(4)=16-4ln 2-m, 所以M≤f(x)max-f(x)min=15-4ln 2,可得满足条件的最大整数M的值为12. 变式 [解析] 由题意得f(x)max≤g(x)max.f'(x)=2-,当x∈[1,2]时f'(x)≥0,故f(x)在[1,2]上单调递增,所以f(x)max=f(2)=.g'(x)=,则当x∈时g'(x)>0,当x∈(e,e2]时g'(x)<0,故g(x)在上单调递增,在(e,e2]上单调递减,所以g(x)max=g(e)=-m.所以≤-m,解得m≤-,即m的取值范围为.微突破(十) 不等式恒成立与能成立问题 1. [解析] 由题知f(x)≤0恒成立即ln x-ax-1≤0当x∈(0,+∞)时恒成立,即a≥当x∈(0,+∞)时恒成立,则a≥.记g(x)=,所以g'(x)==,则当x∈(0,e2)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,当x∈(e2,+∞)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,所以g(x)max=g(e2)=,所以a的取值范围为. 2. [解析] ex(2x-x2)≥aex-x等价于ex(2x-x2)+x≥aex,∵ex>0,∴2x-x2+xe-x≥a.令f(x)=2x-x2+xe-x,∵关于x的不等式ex(2x-x2)≥aex-x有解,∴a≤f(x)max.f'(x)=2-2x+e-x-xe-x ... ... 