本章总结提升 【素养提升】 题型一 例1 (1)A [解析] =4×=4f'(2)=12.故选A. (2)解:①g(x)=tan x=, 所以g'(x)==, 所以g'=2,g=1, 所以切线方程为y-1=2,整理得2x-y+1-=0. ②f(x)=ln x,所以f'(x)=,设切点坐标为(x0,ln x0),所以切线斜率k=,则切线方程为y-ln x0=(x-x0),又因为切线过原点,所以-ln x0=·(-x0),解得x0=e, 所以切线方程为y-1=(x-e),整理得x-ey=0. 变式 (1)C (2)D (3)ln 2 [解析] (1)∵函数y=f(x)在x=x0处可导,∴=-2=-2f'(x0).故选C. (2)设切点坐标为(x0,3x0),因为y=ln(3x-a)+2,所以y'=,所以切线的斜率k==3,又3x0=ln(3x0-a)+2,所以3x0=ln 1+2,解得x0=,又3x0-a=1,所以a=3x0-1=2-1=1,故选D. (3)∵y=ex+x,∴y'=ex+1,∴切线的斜率k=y'|x=0=2,∴切线方程为y-1=2·(x-0),即y=2x+1.设直线y=2x+1与曲线y=ln(x+1)+a相切于点(x0,ln(x0+1)+a),∵y=ln(x+1)+a,∴y'=,∴k=y'==2,解得x0=-,∴ln+a=2×+1,解得a=ln 2. 题型二 例2 D [解析] 由题中图可知,当x<0时,函数f(x)单调递增,所以对应的导函数f'(x)>0,故A,C不是导函数的图象;当x>0时,f(x)的图象先增,再减,再增,所以导函数的值应先为正数,零,再为负数,零,再为正数,故B不是导函数的图象.故选D. 变式 C [解析] 设函数y=xf'(x)的图象在x轴上最左边的一个零点为a,且-2
0,∴f(x)在(-2,a)上单调递增;当a0,∴f'(x)<0,∴f(x)在(a,0)上单调递减.故选C. 题型三 例3 解:(1)当a=2时,f(x)=x2-x+ln x,对其求导得f'(x)=x-+=,令f'(x)===0,解得x=或x=2, 注意到f(x)的定义域为(0,+∞),由此可以列出以下表格: x (2,+∞) f'(x) + - + f(x) ↗ ↘ ↗ 由表可知,函数f(x)的增区间为和(2,+∞). (2)对函数f(x)=x2-x+ln x求导, 得f'(x)=x-+==, 令f'(x)==0,解得x=a或x=,接下来对a∈(0,1]分两种情形来讨论. 情形一:当a=1时,有f'(x)=≥0,此时f(x)在(0,+∞)上单调递增. 情形二:当a∈(0,1)时,有00可得0,由f'(x)<0可得a0时,f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增, 所以f(x)在x=ln a处取得极小值, 依题有f(ln a)=a-aln a-a3<0,所以a2+ln a-1>0. 令g(x)=x2+ln x-1,则g(x)在(0,+∞)上单调递增,且g(1)=0,所以a>1,故a的取值范围是(1,+∞). 变式 A [解析] 对函数f(x)求导得f'(x)=(2x+2a)ex+(x2+2ax+a2-3)ex=[x2+(2a+2)x+a2+2a-3]ex,因为x=1是函数f(x)的极小值点,所以f'(1)=[12+(2a+2)×1+a2+2a-3]e1=0,即a2+4a=0,解得a=0或a=-4.当a=0时,f'(x)=(x2+2x-3)ex=(x-1)(x+3)ex,则当-31时,f'(x)>0,则f(x)在区间(-3,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增,所以x=1是f(x)的极小值点,故a=0满足题意.当a=-4时,f'(x)=(x2-6x+5)ex=(x-1)(x-5)ex,当x<1时,f'(x)>0,当1