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课件网) 7.1 两个基本计数原理 第2课时 分类计数原理与分步计数 原理的综合应用 探究点一 数字组数问题 探究点二 选（抽）取与分配问题 探究点三 涂色与种植问题 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.进一步理解分类计数原理和分步计数原理的区别. 2.会正确应用这两个计数原理计数. 知识点 分类计数原理和分步计数原理的区别 1.分类计数原理和分步计数原理的区别在于一个和分类有关，一个和 分步有关. 完成一件事的方法种数若需“分类”思考，则这 类办法是相互独立的， 且无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，则完成这 件事的方法的种数用分类计数原理； 若完成某件事需分个步骤，这 个步骤相互依存，具有连续性，当 且仅当这 个步骤依次都完成后，这件事才算完成，则完成这件事的 方法的种数需用分步计数原理计算. 2.利用两个基本计数原理解决具体问题时的思考程序 （1）首先明确要完成的事情是什么，条件有哪些？ （2）再考虑如何完成，主要有三种类型： ①分类或分步； ②先分类，然后在每一类里再分步； ③先分步，然后在每一步里再分类. （3）最后考虑每一类或每一步的不同方法数是多少. 探究点一 数字组数问题 例1 ［2024·江苏南京高二期中］用0，1，2，3， ，9这十个数字. （1）可组成多少个三位数？ 解：要确定一个三位数，可分三步进行： 第一步，确定百位数，因为百位数不能为0，所以有9种选法； 第二步，确定十位数，有10种选法； 第三步，确定个位数，有10种选法. 根据分步计数原理，共有 （个）三位数. 例1 ［2024·江苏南京高二期中］用0，1，2，3， ，9这十个数字. （2）可组成多少个无重复数字的三位数？ 解：要确定一个无重复数字的三位数，可分三步进行： 第一步，确定百位数，有9种选法； 第二步，确定十位数，有9种选法； 第三步，确定个位数，有8种选法. 根据分步计数原理，共有 （个）无重复数字的三位数. 例1 ［2024·江苏南京高二期中］用0，1，2，3， ，9这十个数字. （3）可组成多少个小于500且没有重复数字的自然数？ 解：小于500且没有重复数字的自然数分为以下三类. 第一类，满足条件的一位自然数：有10（个）. 第二类，满足条件的两位自然数：有 （个）. 第三类，满足条件的三位自然数： 第一步，确定百位数，百位数可取1，2，3，4，有4种选法； 第二步，确定十位数，有9种选法； 第三步，确定个位数，有8种选法. 根据分步计数原理，有 （个）. 由分类计数原理知共有 （个）小于500且无重复 数字的自然数. 变式 ［2025·江苏南通高二期末］从数字1，2，3，4中取出3个数字 （允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6，则这样的三位数 的个数为( ) A.7 B.9 C.10 D.13 [解析] 各位数字之和等于6的三位数可分为以下三类： ①由1，1，4三个数字组成的三位数，为114，141，411，共3个； ②由1,2,3三个数字组成的三位数,为123,132,213,231,312,321,共6个； ③由2，2，2三个数字可以组成1个三位数，为222. 综上共有 （个）符合条件的三位数，故选C. √ ［素养小结］ 解决组数问题的方法 （1）对于组数问题,一般按特殊位置（一般是末位和首位）优先的方 法分类或分步完成;如果正面分类较多,可采用间接法从反面求解. （2）解决组数问题,应特别注意其限制条件,有些条件是隐藏的,要善 于挖掘. 提醒：数字“0”不能排在两位数或两位以上的数的最高位. 探究点二 选（抽）取与分配问题 例2 现有5幅不同的国画,2幅不同的油画,7幅不同的水彩画. （1）从中任选一幅画布置房间,有多少种不同的选法 解：分为三类:从国画中选,有5种不同的选法; 从油画中选,有2种不同的选法; 从 ... ...
