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课件网) 数学北师大版 高二上 3.2.2 空间向量的运算(2) 两个非零平面向量，的数量积是一个实数，等于这两个向量的模和它们夹角余弦值的乘积，即：． 什么是平面向量的夹角？ 两个非零向量，，在平面中任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作． 规定． 你还记得平面向量的数量积运算是怎么定义的吗？ 两个非零向量，，在空间中任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作． 规定． 在此规定下，两个向量的夹角被唯一确定，并且． 当时，向量与方向相同； 当时，向量与方向相反； 当时，称向量与互相垂直，记作． 规定：零向量与任意向量垂直． 空间向量的数量积 已知两个非零向量，，把叫作与的数量积，记作． ． （1）； （2）； （3） ． 空间向量的数量积运算也满足如下运算律： （1）交换律：； （2）分配律：； （3）． 判断下列命题是否正确： （1）由，可得或； （2）对于三个非零向量，，，由，可得到； （3）对于两个非零向量，，由，可得到或． （4）对于向量，，，有． 解：（1）不一定，∵，∴或或． 即或或； （2）不一定，由，有，从而有或； （3）不能，向量没有除法运算； （4）不一定，两个向量的数量积为一个实数，和分别表示与向量和向量共线的向量，它们不一定相等．即向量的数量积运算没有结合律． 我们在平面向量中学习过投影向量的概念，由于任意两个空间向量总能通过平移变成同一平面内的向量，因此平面向量的投影概念可以直接推广到空间中． 已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，过点作直线的垂线，垂足为点，称向量为向量在向量方向上的投影向量，其长度等于． 当为锐角时，； 当为钝角时，； 当时，． 已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，过点作直线的垂线，垂足为点，称向量为向量在向量方向上的投影向量，其长度等于． 若用表示与向量同方向的单位向量，则向量在向量方向上的投影向量为． 因此称为投影向量的数量，简称为向量在向量方向上的投影数量． 结合空间向量数量积的定义可知： 向量在向量方向上的投影数量为：． 如图，已知单位正方体， （1）指出向量分别在，，方向上的投影向量； （2）求向量在方向上的投影数量； （3）求向量在方向上的投影数量． D A B C A' B' C' D' 解：（1）根据正方体的性质知：，，，所以向量在，，方向上的投影向量分别为，，； （2）∵，∴向量在方向上的投影数量为：； （3）∵，∴向量在方向上的投影数量为：． 如图，已知四棱柱的底面是边长为1的菱形， 且，． 求：（1）；（2）；（3）． C D A' B' C' D' A B （2）因为，而， ， 所以； （3） ． 解：（1）因为，所以； 空间向量数量积的计算问题的解题思路： 在几何体中求空间向量数量积的步骤： (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式； (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积； (3)代入求解． 长方体、四面体等是研究空间向量的常见载体，要熟悉其结构特点，善于挖掘隐含的垂直关系或特殊角等． 本课小结 作业：教材第104、105页练习全做． 如图所示，已知四边形ABCD、ABEF都是平行四边形且不共面，M、N分别是AC、BF的中点，判断 与 是否共线． 解： ∵M、N分别是AC、BF的中点， 且四边形ABCD、ABEF都是平行四边形， ∴ 又∵ ∴ 即 ∴ 与 共线． 谢谢 21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？ 欢迎加入21世纪教育网教师合作团队！！月薪过万不是梦！！ 详情请看： https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php ... ...
