3.4.1 直线的方向向量与平面的法向量(2) 课件(共23张PPT)

数学北师大版 高二上 3.4.1 直线的方向向量与平面的法向量(2) 我们已经知道，给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线．类似地，给定空间中一点????和一条直线????，由立体几何知识可知，过点????且垂直于直线????的平面唯一确定． ? 如果一条直线????与一个平面????垂直，那么就把直线????的方向向量????叫作平面????的法向量，则????⊥????． ? 直线????的方向向量有无数个(如????，????，????等)，因此，平面????的法向量也有无数个． ? 如何用平面的法向量描述平面内任意一点的位置呢? 如图，设点????是平面????内给定的一点，向量????是平面????的一个法向量， 那么对于平面????内任意一点????，必有： ????????·????=0． ① 反过来，由立体几何的知识可以证明：满足①式的点????都在平面????内， 所以把①式称为平面????的一个向量表示式． ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? 若已知向量????=????，????，????，点????的坐标为????0，????0，????0，你能表示把①式用坐标表示吗？ ? 由此可见，平面????内任意一点????的坐标????，????，????都满足方程②； 反之，以满足方程②的????，????，????为坐标的任意一点也都在平面????内． 所以方程②叫做平面????的方程． ? ???? ? ???? ? ???? ? O ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? 设平面????内任意一点????的坐标为????，????，????，则????????=?????????0，?????????0，?????????0， 代入①式，得????????·????=?????????0，?????????0，?????????0·????，????，????=0， 即，?????????????0+?????????????0+?????????????0=0． ② ? 我们知道，空间中的平面????可以由????内两条相交直线确定，能否用两条不共线的向量表示空间中的平面？ ? 设两条直线相交于点????，它们的方向向量分别为????和????， ????为平面????上任意一点， 由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对????，????，使得 ????????=????????+????????， 这样，点????与向量????和????不仅可以确定平面????，还可以具体表示出????内的任意一点． ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? 不共线的三点????、????、????构成两个不共线的向量????????、????????，平面内任意一点????，存在实数????，????，使得????????=????????????+????????????． 取定空间内任意一点????，????????=????????+???????? 得到????????=????????+????????????+????????????． 因此，空间一点????在平面????????????内的充要条件是： 存在实数????，????使????????=????????+????????????+????????????． ? 空间一点????在平面????????????内的充要条件是什么？ ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ????????????+????????????表示平面内的任意向量，????????+????????????+????????????表示以为????起点，平面内任意一点为终点的向量，所以空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． ? 如何说明空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定？ 四点共面 已知点????0，1，1，????1，2，1，????2，1，3，求平面????????????的一个法向量的坐标． ? 解：由已知可得：????????=1，1，0，????????=2，0，2， 设????=????，????，????是平面????????????的一个法向量， 则????·????????=0????·????????=0，即????+????=02????+2????=0， 不妨取????=1，得????=????=?1． ∴平面????????????的一个法向量的坐标为1，?1，?1． ? 利用待定系数法求平面的法向量的步骤： ① 求平面????????????的法向量时，要选取平面????????????内两个不共线的向量，如????????，????????； ② 设平面的一个法向量为????=????，????，????； ③ 联立方程组????·????????=0????·????????=0 ... ...