1．6.2 正弦定理 第1课时 正弦定理(1) 导学 教材要点 要点一 正弦定理及常见变形 文字 语言 在一个三角形中，各边和它所对角的_____的比值相等 符号 语言 _____＝_____＝_____ 状元随笔 (1)正弦定理对任意三角形都适用． (2)正弦定理中的比值是一个定值，它的几何意义为三角形外接圆的直径． (3)正弦定理是直角三角关系的一个推广，它的主要功能是实现三角形中的边角互化． (4)通过正弦定理可“知三求一”． 要点二 利用正弦求三角形面积 S＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B． 练习 1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)正弦定理对任意的三角形都成立．( ) (2)在△ABC中，等式b sin C＝c sin B总能成立．( ) (3)在△ABC中，若a＞b，则必有sin A>sin B．( ) (4)任意给出三角形的三个元素，都能求出其余元素．( ) 2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a＝，A＝60°，B＝45°，则b＝( ) A． B．2 C． D．2 3．在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝，则sin B＝( ) A． B． C． D．1 4．在△ABC中，若a＝3，b＝，A＝，则C＝_____． 导思 题型一 角及任意一边解三角形 例1 在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形． 总结 (1)正弦定理实际上是三个等式：＝＝＝，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个． (2)因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角． 跟踪训练1 △ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c等于( ) A．1 B． C． D．2 题型二 边及其中一边的对角解三角形 例2 在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，解三角形． 变式探究 若把本例中的条件“A＝45°”改为“C＝45°”，则角A有几个值？ 总结 已知两边及其中一边的对角，利用正弦定理解三角形的步骤 (1)利用正弦定理求出另一边所对角的正弦值，进而求出这个角． (2)利用三角形内角和为180°求出第三个角． (3)根据正弦定理求出第三条边． 其中进行(1)时要注意讨论该角是否可能有两个值． 跟踪训练2 (1)若在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝30°，a＝2，b＝4，则B＝( ) A．45° B．135° C．45°或135° D．以上都不对 (2)(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列各组条件中使得△ABC有唯一解的是( ) A．b＝10，A＝45°，C＝70° B．a＝7，b＝5，A＝60° C．a＝14，b＝16，A＝45° D．a＝3，c＝4，cos C＝ 题型三 求三角形的面积 例3 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝，cos A＝，b＝. (1)求sin C的值； (2)求△ABC的面积． 总结 利用公式“S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A”求三角形的面积，关键是要求出两边及这两边的夹角． 跟踪训练3 (1)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为( ) A． B． C． D．＋1 (2)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，b＝，B＝120°，则△ABC的面积为_____． 易错辨析 解三角形时忽略隐含条件出错 例4 在△ABC中，若∠A＝60°，BC＝4，AC＝4，则角B的大小为( ) A．30° B．45° C．135° D．45°或135° 解析：根据正弦定理得＝，即＝，解得sin B＝.又因为BC>AC，所以A>B，所以角B的大小为45°. 答案：B 易错点 易错原因 纠错心得 忽略BC＝4>4＝AC A>B这一条件，导致选D出错．即忽略了三角形中大边对大角的条件． 已知三角形的两边及其中一边的对角，利用正弦定理求另一边的对角时，由于三角形内角的正弦都为正的，而这个内角可能为锐角，也可能为钝角，因此需要由题中的隐含条件来判断角的情况． 课时训练 1．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，若A＝30°，B＝45°，a＝6 ... ...
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