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课件网) 数学北师大版 高二上 4.3 用向量方法研究立体几何中的度量关系（1） 两条直线夹角的定义 平面内：两条直线与相交时，我们把两条直线交角中范围在内的角叫作两条直线所成的角. 空间中：当两条直线与是异面直线时，在空间任取一点，过点直作线与，使得，把与所成角叫作异面直线与所成的角. 当两条直线平行时，规定它们所成的角为0； 两个向量夹角范围是，而两条直线夹角是，它们之间有什么关系呢？ 如下图，与的关系？与的关系？ 也就是说：当时，； 当时， 故. 设直线的方向向量为，直线的方向向量为. 直线与所成的角，且与两个方向向量所成的角相等或互补. 如下图，在空间直角坐标系中有长方体直三棱柱中，，求与所成角的余弦值. 解：设分别是和的一个方向向量，取. 因为， 所以， 设与所成角为，则 . 故与所成角的余弦值为. 如何用空间向量求直线与平面所成的角？ 线面所成角定义：平面外的一条直线与它在平面内的投影的夹角. 特殊地：①若或，则与的夹角为.②若，则与的夹角为 直线与平面所成角的定义 是的斜线 如图，设的方向向量为，平面，垂足为，平面的法向量为， 思考：直线与平面所成的角是哪个角？这个角与向量的夹角之间满足什么关系式？ 直线与平面所成的角是，. 化为向量问题 进行向量运算 回到图形问题 ①转化为求两条直线的方向向量的夹角 ②计算的值 ③两条直线夹角的余弦值的值 用空间向量求两条直线夹角的步骤与方法 如图，在正三棱柱中，底面边长为2，，求直线与侧面所成角的正弦值. 解：由正三棱柱知平面，故以点为原点，所在直线分别为轴、z轴，建立空间直角坐标系，易知是平面的一个法向量. 由是边长为2的正三角形，可得. 所以设直线与侧面所成角为，则 . 所以直线与侧面所成角的正弦值为. 用空间向量求直线与平面所成角的步骤与方法 化为向量问题 进行向量运算 回到图形问题 ①转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角 ②计算的值 ③直线与平面所成的角的正弦值的值 1. 用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想． 2. 两类夹角问题的向量求法 角的类型 角的取值范围 方向向量与法向量 与向量夹角的关系 两条直线的夹角 两条直线的方向向量 直线与平面所成的角 直线的方向向量 平面的法向量 本课小结 作业：教材第132页练习第1-4题． 谢谢 21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？ 欢迎加入21世纪教育网教师合作团队！！月薪过万不是梦！！ 详情请看： https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php ... ...
