4．5.2 几种简单几何体的体积 导学 教材要点 要点 柱、锥、台、球的体积公式 几何体 体积公式 柱体 圆柱、棱柱 底面积为S，高为h，V＝_____ 锥体 圆锥、棱锥 底面积为S，高为h，V＝_____ 台体 圆台、棱台 上底面积为S′，下底面积为S，高为h，V＝(S′＋＋S)·h 球 V球＝_____(R为球的半径) 状元随笔 柱体、锥体、台体体积之间的关系 练习 1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)底面积相等且高相等的两个同类几何体的体积相等．( ) (2)在三棱锥P ABC中，VP ABC＝VA PBC＝VB PAC＝VC PAB.( ) (3)锥体的体积等于底面面积与高之积．( ) (4)若长方体的相邻三个面的面积分别为2，6，9，则长方体的体积是6.( ) 2．三棱锥V ABC底面是边长为2的正三角形，高为3，求三棱锥的体积( ) A． B．2 C．3 D． 3．若圆锥的母线长为8，底面周长为6π，则其体积是( ) A．24π B．24 C．3π D．3 4．若球的表面积为4π，则体积为_____． 导思 题型一 柱体、锥体、台体的体积 例1 (1)正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为( ) A．20＋12 B．28 C． D． (2)如图所示，已知E，F分别是棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1的棱A1A，CC1的中点，则四棱锥C1 B1EDF的体积为_____． (3)如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为( ) A． B． C． D． 总结 简单几何体体积的求法 (1)直接法：直接套用体积公式求解． (2)等体积转移法：在三棱锥中，每一个面都可作为底面．为了求解的方便，我们经常需要换底，此法在求点到平面的距离时也常用到． (3)分割法：在求一些不规则的空间图形的体积时，我们可以将其分割成规则的、易于求解的空间图形． (4)补形法：对一些不规则(或难求解)的空间图形，我们可以通过补形，将其补为规则(或易于求解)的空间图形． 跟踪训练1 (1)圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16π，则圆锥的体积是( ) A． B． C．64π D．128π (2)三棱锥A BCD的高为4，底面BCD为直角三角形，两直角边BD和CD的长分别为5，3，则该三棱锥的体积为( ) A．60 B．30 C．20 D．10 (3)已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的体积为_____． 题型二 有关球的体积问题 角度1 球的切、接问题 例2 (1)已知正方体的内切球的体积是π，则正方体的棱长为( ) A．2 B． C． D． (2)棱长为a的正四面体的各个顶点都在半径为R的球面上，则球的体积为_____． 总结 常见几何体与球的切、接问题的解决策略 (1)处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系．一般情况下，由于球的对称性，球心总在特殊位置，比如中心、对角线的中点等． (2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算． 角度2 球的体积在实际中的应用 例3 把半径分别为6 cm，8 cm，10 cm的三个铁球熔成一个铁球，则这个大铁球的半径是_____ cm. 总结 解决本题的关键是总体积不变． 跟踪训练2 (1)圆柱形容器内部盛有高度为h的水，若放入两个直径为3 cm的铁球(球的半径与圆柱底面半径相等)后，水恰好淹没最上面的铁球(如图所示)，则h＝( ) A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm (2)一底面边长为4的正六棱柱，高为6，则它的外接球(正六棱柱的顶点都在此球面上)的体积为_____． 题型三 简单组合体的体积 例4 如图所示，在棱长为4的正方体上底面中心位置打一个直径为2，深为4的圆柱形孔，求打孔后的几何体的表面积和体积． 总结 求组合体的表面积与体积的关键是弄清组合体中各简单几何体的结构 ... ...
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