同步培优 A 本@第 27 章相似 27.2 相似三角形 课时 6 相似三角形的性质 1.[2025 唐山期中]如图，在△ 中，点 是 边上的点，∠ = ∠ ， : = 1: 2 ， 则△ 与△ 的周长比是( ) A.1: 2 B.1: 2 C.1: 3 D.1: 4 答案：B 解析： ∵ ∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，∴△ ∽△ ，∵ : = 1: 2,∴△ 与△ 的相似比为 1: 2，∴△ 与△ 的周长比是 1: 2 . 2.[2025 莆田期中]如图，一张底边长为 20 cm，底边上的高为 30 cm 的等腰三角形纸片， 沿底边依次从下往上裁剪宽度均为 4 cm 的矩形纸条.若剪得的纸条是正方形，则这张正方形 纸条是( ) A.第 4 张 B.第 5 张 C.第 6 张 D.第 7 张 答案：C 解析： 字母标注如图，由题意可知， = 20 cm ， = 30 cm， = 4 cm，设剪得 的正方形纸条是第 张，∴ = (30 4 )cm，由题易知△ ∽△ 30 4 ，∴ = ，∴ = 30 42/80 同步培优 A 本@第 27 章相似 4 ，解得 = 6 ，即剪得的正方形纸条是第 6张. 20 △ = 3.[2025 南京期中]如图， 的顶点 在函数 ( < 0)的图象上，∠ = 90 ，过 边的三等分点 ， 分别作 轴的平行线交 于点 ， .若四边形 的面积为 6，则 的 值为_____. 答案： ∵ // // ∴△ ∽△ ∽△ . ∵ ∴ = 1解析： ， ， 是 的三等分点， ， 2 = 1 ∴ △ 1， = .∵ ∴ △ 1 △ 四边形 的面积为 6， = ，∴ △ = 2. ∵ = ( )2， 3 △ 4 △ +6 4 △ ∴ 2 = 1 ，∴ △ = 18，∴ | | = 2 △ = 36，∵ 点 在第二象限，∴ = 36 . △ 9 4.[2025 泉州洛期中]如图，在△ 中，点 ， ， 分别在边 ， ， 上，连接 ， ， 2，且 与 交于点 .已知四边形 是平行四边形，且 = . 5 43/80 同步培优 A 本@第 27 章相似 （1）若 = 25，求线段 的长； 解：∵ 四边形 是平行四边形，∴ // ，∴△ ∽△ ，∴ = = ，∵ = ， ∴ = . （2）若四边形 的面积为 48，求△ 的面积. 解：∵ 四边形 是平行四边形，∴ // ， = ,∴ = = ，∴ = ，∵ // ， ∴△ ∽△ ∴ △ = ( ) = ， .∵ △ = △ + ，四边形 的面 △ 四边形 积为 48，∴ △ = .∵ = + = ∴ = ， ， ，∴ △ = （同高的三角形 △ 的面积比等于底边的比），∴ △ = . 5. 有一块三角形余料 ，它的边 = 120 mm，高 = 80 mm ．如图 1，要把它加 工成正方形零件，使正方形的一边在 上，其余两个顶点分别在 ， 上． （1）求加工成的正方形零件的边长. 解：设正方形零件的边长为 ，则 = = = ，∴ = = ( ) .∵ // ，∴△ ∽△ ，∴ = = ,即 ，解得 = .∴ 加 44/80 同步培优 A 本@第 27 章相似 工成的正方形零件的边长是 . （2）如果要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形组成的，如图 2， 此时，这个矩形零件的两条边长分别为多少？ 解：设 = ， 则 = ， = ( ) ∵ // ∴△ ∽△ ∴ = . ， ， ，即 = = ∴ = ∴ ，解得 ， . 这个矩形零件的两条边长分别为 ， . （3）如果要加工的零件只是一个矩形，如图 3，此时，这个矩形零件的两条边长不能确定， 但这个矩形的面积有最大值，求面积达到最大值时矩形零件的两条边长． 解：设 = ，矩形 的面积为 .由题意可得△ ∽△ ，∴ = ， = 即 ，解得 = ,∴ = = .则 = = ( ) = ( ) + ，故 的最大值为 ，此时 = ， = × = ( ) .∴ 此时矩形零件的两条边长分别为 ， . 45/80 同步培优 A 本@第 27 章相似 一题多变 相似三角形中面积与线段的关系（母题变式） 1.如图，平行于 的直线 把△ 分为两部分，且 Ⅰ: Ⅱ = 4: 5，则 = ___. 答案：2 ∵ // ∴△ ∽△ ∴ △ = ( )2 ∵ : = 4: 5 ∴ 解析： ， ， ， ， △ △ 四边形 = △ △ ( )2 = 4 ∴ ， = 2 ∴ ， = 2 . 9 3 2.［2025 宜宾中考］如图，一张锐角三角形纸片 ，点 ， 分别在边 ， 上， = 2 ， 沿 将△ 剪成面积相等的两部分，则 的值为___. 答案：3 解析： 如图，过点 作 // 交 于 ... ...
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