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课件网) 数学北师大版 高一上 2.1 函数概念 在初中,我们用函数刻画、分析了具体的“弹力”“匀速运动”等实际问题之后,学习了它们的一般形式———正比例函数.正比例函数舍去了“弹力”“匀速运动”等实际背景,强化了数与数之间的对应关系,是抽象的函数模型. 初中学习了三个重要的函数类型:一次函数y=kx十b、一元二次函数y=ax2+bx+c和反比例函数y=,,其中 k,a,b,c为常数,且k≠0,a≠0.对于每一个x的取值,都有唯一确定的y值和它对应,这是函数的基本特征. 给定实数集R中的两个非空数集A和B,如果存在一个对应关系f,使对于集合A中的每一个数x ,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就把对应关系f称为定义在集合A上的一个函数, 记作y= f(x),x∈A.其中集合A称为函数的定义域,x称为自变量， 与x值对应的y值称为函数值,集合{f(x)|x∈A}称为函数的值域. 在这里,函数概念强调了数与数之间的对应关系,并且对应关系指的是对应的结果,而不是对应的过程. 比如 y= 1 -1 x>0 x<0 是同一个函数. 与y= 现在,借助集合语言,给出如下的函数定义: 只有两个非空数集之间才能建立函数关系 A，B都是非空数集，因此定义域或值域为空集的函数不存在. 如y= 就不是函数. 一般情况下,当没有指明函数的定义域时,就认为它的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围,如y=,的定义域就是{x|x≠0}. 如果涉及实际问题,函数的定义域还必须使实际问题有意义,如描述弹簧的伸长量x与弹力y的函数y=kx,由于自变量x是伸长量,定义域就不可能包含负数了. 用f(a)表示函数f(x)当x=a时的函数值. 例如,对于函数f(x)=3x2＋2x-1来说，f(5)=3×52＋2×5-1=84,其中84就是函数f(x)当x=5时的函数值. 【解析】 (1)对于A中的元素3，在f作用下得0，但0 B，即3在B中没有元素与之对应，所以不是函数． (2)对于A中任意一个非负数都有唯一元素1与之对应，对于A中任意一个负数都有唯一元素0与之对应，所以是函数． (3)集合A中的负数，在B中没有元素与之对应，故不是函数． (4)集合A中的元素0在B中没有元素和它对应，故不是函数． 只有两个非空数集之间才能建立函数关系. A，B都是非空数集，因此定义域或值域为空集的函数不存在. 如 就不是函数. 例1下列各组中的两个函数是否为同一个函数 (1) f(x)=,g(x)=()2; (2)f(x)=x2,g(x)=(x+1)2; (3)f(x)=,g(x)=x-1; (4)f（x)=x+,g(t)=t+. 解(1)因为f(x)的定义域是R,g(x)的定义域是[o，＋),两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数; (2）因为两个函数的对应关系不同,所以不是同一个函数; (3)因为f(x)的定义域是{x|x≠-1},g(x)的定义域是R,两个函数的定义域不同,所以不是同一个函数; (4) f(x)和g(t)虽然表示自变量的字母不同,但它们的定义域及对应关系都相同,所以是同一个函数. 同一个函数必须是定义域相同且对应关系相同,那么对应函数值也相同. 求函数定义域 (1)自然定义域:使函数解析式有意义的自变量的一切值; (2)限定定义域:受某种条件制约或有附加条件的定义域应用问题、几何问题中的函数定义域,要考虑自变量的实际意义和几何意义. 判断两个函数是否是同一个函数的步骤： 判断两函数的定义域是否相同； 判断两函数的对应关系是否相同． 判定是不是同一函数. (1)定义域不同,两函数不同; (2)值域不同,两函数不同; (3)对应关系不同，两函数不同. 即使定义域和值城分别相同的两个函数,也不一定是同一函数.如y=5x与y=0.3x,它们的定义域和值域都是实数集R，但不是同一函数. 例2求下列函数的定义域: (1) y=2x+3+; (2)y=＋;(3)y=＋. 解(1）为使函数有意义,只需解析式中分式的分母不为零,即x-1≠0,解得x≠1. 所以函数y=2x+3+的定义域是{xΙx≠1}; (2)为使函数有意义,只需解析式中的被开方数非 ... ...
