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课件网) 数学北师大版 高一上 2.2全称量词与存在量词 一、全称量词命题与存在量词命题观察下列命题: (1）所有正方形都是矩形; (2)每一个有理数都能写成分数的形式; (3)对于任意的正实数k,y=kx+b的值随x值的增大而增大; (4）空集是任何集合的子集; (5)一切三角形的内角和都等于180°. 以上命题中,“所有”“每一个”“任意”"任何”"一切”都是在指定范围内表示整体或全部的含义. 抽象概括 在给定集合中,断言所有元素都具有同一种性质的命题叫作全称量词命题.在命题中，诸如“所有”"每一个”“任意”"任何”“一切”这样的词叫作全称量词,用符号“ ”表示,读作“对任意的”. 例如,“对于任意的实数x,都有x2≥0”可表示为“ x∈R,有x2≥0”. 在某些全称量词命题中,有时全称量词可以省略.例如,“所有的正方形都是矩形”,可以简写为“正方形是矩形” 例4判断下列命题是不是全称量词命题,如果是,指出其中的全称量词: (1）所有的正方形都是平行四边形; (2）能被5整除的整数末位数字为0. 解(1)“所有的正方形都是平行四边形”是全称量词命题,“所有”是全称量词; (2)“能被5整除的整数末位数字为0”可以表述为“所有能被5整除的整数,末位数字都为0”,它是全称量词命题,其中省略了全称量词“所有”. 思考交流 请举出初中数学中的一些全称量词命题,并与同学交流. 有一些数学命题,是对个体或整体的一部分的判断.例如: (1)有些三角形是直角三角形; (2)在素数中,有一个是偶数; (3)存在实数x,使得x2+x—1=0. 以上命题中,“有些”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义. 在给定集合中,断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题.在命题中,诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词, 抽象概括 读作“存在” 用符号“ ”表示,. 例如,“存在实数x,使得x2+x—1=0.”可表示为“ x∈R,使x2+x—1=0”. 例5判断下列命题是不是存在量词命题,如果是,指出其中的存在量词: (1)存在一个无理数x,使x2也是无理数; (2〉 x∈R,使x2+x+1=0. 解(1)“存在一个无理数x,使x2也是无理数”是存在量词命题,“存在”是存在量词; (2)“ x∈R,使x2+x＋1=0”是存在量词命题,“ (即存在)”是存在量词. 思考交流 请举出初中数学中的一些存在量词命题,并与同学交流. 练习1.判断下列命题是不是全称量词命题,如果是,指出其中的全称量词: （1）每一个多边形的外角和都是360°; (2）所有的素数都是奇数; (3)对任意的无理数x,x2也是无理数; (4) x∈R,,x都有平方根; (5) x∈R,,有-x2≤0. 2.判断下列命题是不是存在量词命题,如果是,指出其中的存在量词: (1)实数都能写成小数; (2)在实数集内,有些一元二次方程无解; (3)在平面内,过直线外一点,存在另一条直线与其垂直; (4)存在一个自然数n,使代数式是n2-2n＋2的值是负数. 不是 在数学的讨论中,有时要给出一个命题的否定,例如,在反证法的证明中要先假设命题的否定成立. 当命题是真命题时,命题的否定是假命题; 当命题是假命题时,命题的否定是真命题. 实例分析 “ x∈R,有x+1>0”是一个全称量词命题,如何否定它呢 二、全称量词命题与存在量词命题的否定 要否定这个全称量词命题,只需要找到一个实数x,使x+1>0不成立,即找到一个实数x,使x＋1≤0,也就是“ x∈R,使x＋1≤O”,它是一个存在量词命题. 又如,全称量词命题:“ x∈R,有x2-2x+2>0”.要否定这个全称量词命题,只需要找到一个实数x,使工x2-2x+2>0不成立,即“ x∈R,使x2-2x+2≤O”,它也是一个存在量词命题. 以上的存在量词命题是对原全称量词命题加以否定得到的. 一般地,要否定一个全称量词命题,只需要在给定集合中找到一个元素,使命题的结论不正确,即全称量词命题不成立. 全称量词命题的否定是存在 ... ...
