【拔尖专练】专题突破五 等腰三角形的性质与判定解答题（20道）2025-2026八年级上册数学同步讲练【浙教2024版】-原卷版

中小学教育资源及组卷应用平台 【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册专题突破浙教（2024）版 专题突破五 等腰三角形的性质与判定解答题（20道）（拔尖题） 1．综合实践 教材再现：等边三角形是三边都相等的特殊的等腰三角形：等边三角形的三个内角都相等，并且都等于；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 探究问题：等边三角形的三个内角都等于，由此可得等边三角形的每一个外角都等于，那么等边三角形与的角是否还有某些特殊关系，为此某数学兴趣小组的同学做了如下探究，请你帮助他们完成证明过程或解答过程． (1)如图，是等边三角形，点、分别在和的延长线上，且，该兴趣小组的同学发现，当的度数确定时，的度数也随之确定． 若，则的度数为 ． 求证：． (2)如图，是等边三角形，点是三角形内一点，且，延长交于点，延长交于点，判断线段、、、之间有什么数量关系，并说明理由． (3)如图，是等边三角形，点是三角形外一点，且，连接，判断线段、、之间有什么数量关系，并说明理由． 【答案】(1) 证明见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查三角形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等边三角形判定与性质，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）根据三角形的内角和定理直接求解即可；由等边三角形的性质知，根据内外角关系可得，从而； （2）由是等边三角形，得，，有，而，有，故，可得，故，即； （3）延长到，使，连接，由，有，知是等边三角形，从而，，可得，因此，即，即可证，得，故． 【详解】（1）解：，， ； 故答案为：； 证明：是等边三角形， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，即； （3）解：，理由如下： 延长到，使，连接，如图： ， ， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ． 2．如图，在中，过点A，B 分别作直线，，且，过点 C 作直线交直线于 D，交直线 于E． (1)如图1，若，分别平分和，求的度数． (2)在（1）的条件下，若，，求的长． (3)如图2，若，且，是上一点，，连接，如果，，求的长．（用含a，b的式子表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质等． （1）由，分别平分和，求出，，进而得出，由，得出，代入计算即可得到结果； （2）在上取一点，使，连接，证明，再证明，，代入计算即可求得结果； （3）在上截取，连接，先证明，均为等边三角形，再证明，即可得到． 【详解】（1）解：平分， ， 同理，， ， ， ， ； （2）如图1，在上取一点，使，连接， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）如图2， ，， 为等边三角形， ，， ，， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 3．(24-25八上·陕西西安周至县·期中)如图①，已知点在线段上，在和中，， ，且为的中点． (1)若的延长线交于点，求证：； (2)判断直线与的位置关系，并说明理由； (3)若将按如图②所示位置放置，使点在线段的延长线上（其它条件不变），（2）中结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)成立，见解析 【分析】本题考查了等腰直角三角形，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，全等三角形的性质和判定． （1）由可得，再根据平行线的性质，推出，根据推出，证出，因为，即可得到； （2）由（1）可知，，再由，可得，从而可得是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得结论； （3）作交的延长线于，连接，根据平行线的性质求出，根据证，推出是等腰直角 ... ...