第2课时 定理与证明 稳基础 知识点一 公理与定理的概念 1(3分)数学巨著《原本》以基本事实和原始概念为基础,推演出更多的结论,体现了公理化思想.《原本》的作者是(B) A.阿基米德 B.欧几里得 C.毕达哥拉斯 D.泰勒斯 2(3分·2025·朝阳双塔区模拟)可以作为定理的有(A) ①一个能被2整除的数也必能被4整除;②相等的角是对顶角;③25与x的平均值是3;④三角形内角和为180°. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 易错点误将定理作为基本事实 3(3分·易错题)下列是基本事实的是(C) A.对顶角相等 B.等角的余角相等 C.在平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D.内错角相等,两直线平行 4(3分·2025·大连中山区模拟)“两点确定一条直线”属于(C) A.定义 B.定理 C.基本事实 D.以上答案都不对 5(3分)已知下列命题: ①有两条边分别相等的两个直角三角形全等; ②有一条腰相等的两个等腰直角三角形全等; ③有一条边与一个锐角分别相等的两个直角三角形全等; ④顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等. 其中真命题的个数是(B) A.1 B.2 C.3 D.4 6(3分)以下4个命题: ①三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两部分; ②三角形的三条高所在的直线的交点一定在三角形的内部; ③直角三角形两锐角互余; ④△ABC中,若∠A=2∠B=3∠C,则△ABC为直角三角形. 其中真命题的个数是 2 . 知识链接 公认的真命题称为公理,经过证明的真命题称为定理,每个定理都只能用公理、定义和已经证明为真的命题来证明. 知识点二 证明 7(6分)如图所示,∠AOB=∠COD=90°,那么∠AOC= ∠BOD ,依据是 同角的余角相等 . 8(8分·2025·鞍山铁东区模拟)补全下列推理过程: 如图,EF⊥BC,AD⊥BC,∠1=∠2,证明DG∥BA. 证明:∵EF⊥BC,AD⊥BC(已知), ∴∠BFE=∠BDA=90°(垂直的定义), ∴EF∥AD( 同位角相等,两直线平行 ). ∴∠2=∠3( 两直线平行,同位角相等 ). ∵∠1=∠2(已知), ∴ ∠1=∠3 (等量代换). ∴DG∥AB( 内错角相等,两直线平行 ). 巧提升 9(3分)定理“三角形的任意两边之和大于第三边”的依据是(A) A.两点之间线段最短 B.边边边公理 C.同位角相等,两直线平行 D.垂线段最短 10(3分)下列说法中,正确的是(C) A.经过证明的真命题叫作公理 B.假命题不是命题 C.要证明一个命题是假命题,只要举一个反例,说明它错误即可 D.要证明一个命题是真命题,只要举一个例子,说明它正确即可 11(3分·2025·沈阳沈河区模拟)老师布置了一项作业,对一个真命题进行证明,下面是小云给出的证明过程: 证明:∵b⊥a, ∴∠1=90°. ∵c⊥a, ∴∠2=90°, ∴∠1=∠2, ∴b∥c. 已知该证明过程是正确的,则证明的真命题是(A) A.在同一平面内,若b⊥a,且c⊥a,则b∥c B.在同一平面内,若b∥c,且b⊥a,则c⊥a C.两直线平行,同位角不相等 D.两直线平行,同位角相等 12(6分)根据下图和命题“等腰三角形底边上的中线是顶角的角平分线”写出: 已知: △ABC中,AB=AC,D为BC中点(或BD=DC) 求证: AD平分∠BAC . 培素养 13(13分·推理能力、创新意识)在学习了全等三角形和等边三角形的知识后,张老师出了如下一道题:如图,点B是线段AC上任意一点,分别以AB,BC为边在AC同一侧作等边△ABD和等边△BCE,连接CD,AE分别与BE和DB交于点N,M,连接MN.求证:△ABE≌△DBC. 接着张老师又让学生分小组进行探究:你还能得出什么结论 精英小组探究的结论是AM=DN. 奋斗小组探究的结论是△EMB≌△CNB. 创新小组探究的结论是MN∥AC. (1)你认为哪一小组探究的结论是正确的 (2)选择其中你认为正确的一种情形加以证明. 【解析】(1)三个小组探究的结论都正确; (2)∵△ABD和△BCE是等边三角形, ∴AB=BD,BC=BE,∠ABD=∠CBE=60°, ∴∠ABE=∠DBC,在△ABE与△DBC中, ,∴△ABE≌△DBC(SAS), ∴∠BAM=∠BDN,∠AEB=∠DCB, 在△ABM与△DBN中, , ... ...
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