上海市实验学校2025-2026学年高三上学期开学摸底考试数学试卷（含答案）

上海市实验学校2025-2026学年高三上学期开学摸底考试数学试卷 一、填空题 1. 若，若实数的值为_____. 2. 设i为虚数单位，复数，则_____． 3. 关于的方程的解集为_____． 4 已知，且_____ 5. 若实数，满足，则的最小值为_____． 6. 双曲线的右焦点为，点在的一条渐近线上，为坐标原点，若，则的面积为_____ 7. 已知集合，，为从定义域到值域的函数，且有两个不同的实数根，则这样的函数个数为_____. 8. 我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”.已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则_____． 9. 如图，设点为正四面体表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点到四个顶点的距离组成的集合记为，如果集合中有且只有个元素，那么符合条件的点有_____个. 10. 已知袋中有个大小相同的编号球，其中黄球9个，红球个，从中任取两个球，取出的两球是一黄一红的概率为，则的最大值为_____（用最简分数表示）. 11. 现有一个上部分轴截面为半椭圆的玻璃杯（如图），其杯口内径为，深，现将一半径为的小球放入玻璃杯中，若小球可以接触杯底，则的取值范围为_____. 12. 已知，若存在实数满足，，则的最大值为_____． 二、单选题 13. “”是“直线与直线垂直” A. 充分必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立 15. 已知且，若在上恒成立，则（ ） A B. C. D. 16. 设正数不全相等，，函数．关于说法 ①对任意都为偶函数， ②对任意上严格单调递增， 以下判断正确的是（ ） A. ①、②都正确 B. ①正确、②错误 C. ①错误、②正确 D. ①、②都错误 三、解答题 17. 如图，直三棱柱中，，，，D为BC的中点，E为上的点，且． （1）求证：BE⊥平面； （2）求二面角的大小． 18. 对于函数与，记集合. （1）设，求集合； （2）设，若，求实数的取值范围. 19. 某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图： 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数． （1）求X的分布列； （2）若要求，确定n的最小值； （3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？ 20. 已知点在抛物线上，过点的直线与抛物线C有两个不同的交点A、B，且直线PA交轴于M，直线PB交轴于N. （1）求抛物线C的方程； （2）求直线的斜率的取值范围； （3）设O为原点，，求证：为定值. 21. 已知函数． （1）对于任意的，求证； （2）若，且存在单调递减区间，求实数的取值范围； （3）设函数的图象与函数的图象交于点，过线段的中点作轴的垂线分别交，于点，证明：在点处的切线与在点处的切线不平行． 参考答案 1.-1 2.1 3. 4.-2 5. 6. 7.12 8.2 9.10 10. 11. 12. 13-16.BBCA 17. 18. 19. 20. 21. ... ...