2025-2026学年广东省阳江三中高二（上）开学数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则( ) A. B. C. D. 2.已知是定义在上的偶函数，那么的值是( ) A. B. C. D. 3.若复数为虚数单位，则( ) A. B. C. D. 4.设，，，则( ) A. B. C. D. 5.已知，则( ) A. B. C. D. 6.已知向量，，若，则( ) A. B. C. D. 7.一组不全相等的数据，去掉一个最大值，则下列数字特征一定改变的是( ) A. 极差 B. 中位数 C. 平均数 D. 众数 8.已知，为锐角，且，则的最大值( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知复数，则( ) A. 若复数为实数，则 B. 若复数为纯虚数，则 C. 当时， D. 复数在复平面内对应的点不可能在第二象限 10.已知一组数据如下：，，，，，，则( ) A. 这组数据的极差为 B. 这组数据的方差为 C. 这组数据的众数等于平均数 D. 这组数据的第百分位数为 11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数“为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，已知函数，，则下列叙述中正确的是( ) A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 在上是增函数 D. 的值域是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知圆柱的底面直径与球的半径均为，且圆柱的侧面积与球的表面积相等，则圆柱的母线长为_____． 13.已知平面向量，，若，则_____． 14.已知正三棱锥的各顶点都在体积为的球面上，正三棱锥体积最大时，该正三棱锥的高为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知函数，其中． 求函数的最小正周期和单调递增区间； 若时，的最小值为，求的值． 16.本小题分 某制药厂生产一种治疗流感的药物，该药品有效成分的标准含量为片由于升级了生产工艺，需检验采用新工艺生产的药品的有效成分是否达标，现随机抽取了生产的片药品作为样本，测得其有效成分含量如下：，，，，，，，，，． 计算样本的平均数和方差； 判断采用新工艺生产的药品的有效成分是否达标若，则认为采用新工艺生产的药品的有效成分不达标；反之认为达标 17.本小题分 记的内角，，的对边分别为，，，且． 求； 若，的周长为，求的面积． 18.本小题分 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，，分别是，的中点． 求证：平面； 求证：平面； 求直线与平面所成角的正弦值． 19.本小题分 已知，，且，求的最大值； 已知，，，求的最小值； 已知，若对任意正数，，不等式恒成立，求实数的最小值． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：， ． 由，求得，， 函数的单调递增区间为． 由时，，， ， 解得． 16.解：根据题意，样本数据为：，，，，，，，，，， 则其平均数， 其方差， 根据题意，由的结论，样本的平均数，方差， 则有，而， 则有，故采用新工艺生产的药品的有效成分达标． 17.因为， 正弦定理得． 又，得， 即． 因为，可得， 解得； 由得． 由，的周长为，得． 由， 所以，即， 故， 所以． 18.解：证明：在中，，分别是，的中点， ， 又平面，平面， 平面． 证明：四边形是正方形， ， 又平面，平面， ， 又，且，平面， 平面． 由知，平面， 为斜线在平面上的射影，为直线与平面所成角． 由题意，在中，，， ， ， 即直线与平面所成角的正弦值为． 19.因为，，，可得，解得， 当且仅当，即，时，取到最大值； 因为，又因为，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 由，即当，时，取得最小值； 因为，， 所以恒成立等价于恒成 ... ...
