2025-2026学年广东省湛江二十一中高二（上）开学考试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.命题：“，”的否定是( ) A. ， B. ， C. ， D. ， 2.已知复数，则的虚部为( ) A. B. C. D. 3.已知集合，，则( ) A. B. C. D. 4.铁棍的长度随环境温度的改变而变化，某试验室从时到时每隔一个小时测得同一根铁棍的长度依次为，，，，，，，单位：，则下列说法错误的是( ) A. 铁棍的长度的极差为 B. 铁棍的长度的众数为 C. 铁棍的长度的中位数为 D. 铁棍的长度的第百分位数为 5.设，是两个平面，，是两条直线，则下列命题为真命题的是( ) A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 6.已知，点为边上一点，且满足，则向量( ) A. B. C. D. 7.已知，且，，则的最小值是( ) A. B. C. D. 8.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知，则( ) A. B. C. D. 10.已知函数，则下列结论中正确的有( ) A. 函数在区间上单调递增 B. 直线是函数的一条对称轴 C. 函数的图象关于点中心对称 D. 若函数的图像关于轴对称，则正数的最小值为 11.如图，正方体的棱长为，是线段上的动点，则下列结论正确的是( ) A. 三棱锥的体积为定值 B. 平面 C. 的最小值为 D. 当，，，四点共面时，四面体的外接球的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设复数满足，则_____． 13.设，是随机事件，且，，，则 _____． 14.如图，已知正方形的边长为，若动点在以为直径的半圆正方形内部，含边界上，则的取值范围为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 的内角，，的对边分别为，，，已知． 求； 若，，求． 16.本小题分 中国大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段为了解中国大模型用户的年龄分布，公司调查了名中国大模型用户，统计他们的年龄都在内，按照，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图． 求的值； 求这名中国大模型用户的年龄在内的人数； 估计这名中国大模型用户年龄的平均数各组数据以该组区间的中点值作代表． 17.本小题分 如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧棱底面，是的中点，是的中点． 证明：平面； 证明：平面； 证明：平面平面． 18.本小题分 是由中国杭州的公司开发的人工智能模型，在金融、医疗健康、智能制造、教育等多个领域都有广泛的应用场景为提高的应用能力，某公司组织、两部门的员工参加培训． 已知该公司、部门分别有名领导，此次培训需要从这名部门领导中随机选取人负责，假设每人被抽到的可能性都相同，求全部来自部门领导的概率； 此次培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格，求每位员工经过培训合格的概率． 19.本小题分 如图，在四棱锥中，平面，底面为梯形，，平面平面，且，． 若平面与平面相交于直线，求证：； 求与所成的角； 求二面角的余弦值． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.变形为：， 因此，由于，因此； 由于，且，因此， 根据正弦定理得：，即，解得：． 16.； 根据题意可知，这名中国大模型用户的年龄在内的人数为人； 估计这名中国大模型用户年龄的平均数为 ． 17.证明：如图，连接， 因为四边形是菱形， 所以和互相平分， 因为是中点， 所以也是中点， 又因为， 所以， 因为平面，平面， 所以平面； 因为平面，平面，所以， 因为四边形是菱形 ... ...
