2025-2026学年四川省绵阳市东辰国际学校高二（上）开学考试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设，，且，则等于( ) A. B. C. D. 2.已知，向量，，则存在和，使得( ) A. B. C. D. 3.复数满足是虚数单位，则的虚部为( ) A. B. C. D. 4.已知中，，，，过点作垂直于点，则( ) A. B. C. D. 5.在中，内角，，的对边分别是，，，若，，则． A. B. C. D. 6.在棱长为的正方体中放入一个球体、、、在同一平面，、垂直平面，使之恰与平面、平面、平面、平面均相切，则其半径长为( ) A. B. C. D. 7.某保险公司推出了个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．现对个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图： 用样本估计总体，以下四个选项错误的是( ) A. 周岁参保人数最多 B. 随着年龄的增长，人均参保费用越来越多 C. 周岁以下的参保人数约占总参保人数的 D. 定期寿险最受参保人青睐 8.“筝形”是指以一条对角线所在直线为对称轴的四边形已知“筝形”以所在直线为对称轴，且，若点平面，且，，则四棱锥的体积为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.中，，边上的中线，则下列说法正确的有( ) A. 为定值 B. C. D. 的最大值为 10.已知复数，其中为实数，为虚数单位，则( ) A. 若为纯虚数，则或 B. 若复平面内表示复数的点位于第四象限，则 C. 若，则的虚部为 D. 若，则 11.如图，直四棱柱中，底面为平行四边形，，，点是半圆弧上的动点不包括端点，点是半圆弧上的动点不包括端点，则下列说法正确的是( ) A. 四面体的体积是定值 B. 的取值范围是 C. 若与平面所成的角为，则 D. 若三棱锥的外接球表面积为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知和中，，若“”是“≌”的充要条件，则的范围为 ． 13.已知三棱锥中，，，的中点分别是，，，，，都是正三角形，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 14.在中，，，分别为内角，，的对边，为的外心，且有，，若，，，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知复数，，是虚数单位． 若复数为纯虚数，求的值； 若复数在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围． 16.本小题分 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩满分分，成绩均为不低于分的整数分成六段：，，，得到如图所示的频率分布直方图． 求频率分布直方图中的值； 求样本成绩的第百分位数； 已知落在的平均成绩是，方差是，落在的平均成绩为，方差是，求两组成绩的总平均数和总方差． 17.本小题分 已知的角，，所对的边为，，，且，，延长到点． 若，求的长； 若，，求的长． 18.本小题分 如图，直四棱柱中，是边长为的等边三角形，，棱的中点为． 求证：平面； 现在将矩形以边所在直线为旋转轴，逆时针旋转至矩形，解答下列问题： 在旋转过程中，是否存在，使得直线与直线所成角的余弦值为若存在，求出满足条件的；若不存在，请说明理由； 在旋转过程中，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 19.本小题分 为扎实推进美丽中国建设，丰富市民业余生活，某市计划将一圆心角为，半径为的扇形空地如图，改造为市民休闲中心，休闲中心由活动场地和绿地两部分构成，其中活动场地是扇形的内接矩形，其余部分作为绿地．设点为上异于，的动点．请以点为内接矩形的一个顶 ... ...
