13.1.1 第1课时 勾股定理及其证明(课件）2025-2026学年度华东师大版数学八年级上册

第13章 勾股定理 你知道2002年在北京召开的国际数学家大会（ICM2002）吗？在这次大会上，可以看到一个简洁优美、远看像旋转的纸风车的图案，它就是大会的会徽. 会徽采用了1 700多年前中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图. 本章将探讨并证明勾股定理及其逆定理，并用以解决各种有趣的问题，进一步加深对直角三角形的认识. 13.1.1 直角三角形三边的关系 第1课时 勾股定理及其证明 1.掌握勾股定理，理解定理的一般探究方法．(重点) 2.通过利用方格纸计算面积的方法探索勾股定理，经历观察、归纳、 猜想和验证的数学发现过程，发展数形结合的数学思想．(难点) （1）正方形P的面积是 cm2； （2）正方形Q的面积是 cm2； （3）正方形R的面积是 cm2. 1 2 1 SP+SQ=SR R Q P A C B AC2+BC2=AB2 等腰直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系吗？ SP=AC2 SQ=BC2 SR=AB2 上面三个正方形的面积之间有什么关系？ 如图，如果每一小方格表示 1 cm2，那么可以得到： 这说明在等腰直角三角形ABC中,两直角边的平方和等于斜边的平方. 那么,在一般的直角三角形中,两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢? P的面积/cm2 Q的面积/cm2 R的面积/cm2 图2 图3 P、Q、R面积关系 直角三角形三边关系 Q P R Q P R A B C A B C 9 16 25 9 4 13 SP+SQ=SR (每一小方格表示1 cm2) BC2+AC2=AB2 图2 图3 Q P R Q P R 方法一： 把R看作是四个直角三角形的面积+小正方形面积.如图2. 方法二： 把R看作是大正方形面积减去四个直角三角形的面积.如图3. S正方形R＝52－4×12×2×3 ＝13 ? 图2 图3 S正方形R＝12+4×12×3×4 ＝25 ? 分别以5 cm、12 cm为直角三角形的直角边作出一个直角三角形ABC，测量斜边的长度，然后验证上述关系对这个直角三角形是否成立. 13 5 12 A B C a b c 对于任意一个直角三角形，它的三边长之间是否都有这样的关系呢？ 让我们回到导入语中所提到的2002年国际数学家大会的会标中的那个像旋转的风车的会微（如图). 它是由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成的图案，记直角三角形的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 于是图中各个部分的面积之间有如下的等式： c2=4×12ab+(b-a)2 ? 化简，可得a2+b2=c2 温馨提示： 面积法验证勾股定理. S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2， S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形， 证明： 即c2=4×12ab+(b-a)2， c2=2ab+a2-2ab+b2， 所以 a2+b2=c2. ? 由前面的探索与验证可以发现：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有a2＋b2＝c2. 勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 几何语言： ∵在Rt△ABC中 ，∠C=90°， ∴a2＋b2＝c2（勾股定理）. a A B C b c ∟ 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系. 我国古代，人们把直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”. “弦图”最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周牌算经》作注时给出的，它标志着中国古代伟大的数学成就.2002年在北京召开的国际数学家大会(ICM 2002)的会徽，其图案正是由“弦图”演变而来. 求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度（口答）： 已知直角三角形两边，求第三边. 1．如图①，这个图案是我国古代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图②，其中四边形ABCD和四边形EFGH都是 正方形，△ABF、△BCG、△CDH、 △DAE是四个全等的直角三角形， 若EF＝2，DE＝8，则AB的长为____． 10 2．若一个直角三角形的两直角边的长分别为a，b，斜边长为c，则下列关于a，b，c的关系式中不正确的是(　　) A．b2＝c2－a2 B．a2＝c2－b2 C．b2＝a2－c2 D．c2＝a2＋b2 C 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分 ... ...