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课件网) 第13章 勾股定理 13.1 勾股定理及其逆定理 3. 反证法 知识关联 探究与应用 课堂小结与检测 知识关联 如图，当一个三角形的三边长a、b、c（a≤b≤c）满足关系a2 +b2 =c2时，这个三角形一定是直角三角形吗？ c a b A C B 解析：由a2 +b2 ＝c2 ，根据勾股定理的逆定理可知∠C=90°，这个三角形一定是直角三角形. 如果此时a2+b2 ≠c2,那么这个三角形是否一定不是直角三角形呢？ 【探究】反证法 【做一做】 探究与应用 作出以如下各组数为边长的三角形，算算较短的两边长的平方和是否等于最长边的平方，再观察它们的图形，你发现了什么？ (1)a =1.0, b =2.4,c =2.6； (2)a=2, b =3,c=4； (3) a =2, b =2.5,c =3. (1) (2) (3) 【探究】反证法 探究与应用 我们可以发现,第一组恰好满足a2 +b2= c2,由勾股定理的逆定理可知,组成的三角形是直角三角形,与所作图形一致.而另外两个三角形较短的两边长的平方和都不等于最长边的平方,所作图形都不是直角三角形. (1) (2) (3) 由此,可以得到什么样猜想呢？ (1)a = 1.0, b =2.4,c =2.6； (2)a=2, b =3,c=4； (3) a = 2, b =2.5,c =3. 【探究】反证法 探究与应用 分析：想从已知条件a2 +b2≠c2(a≤b≤c)出发, 直接经过推理得出结论,十分困难.我们可以换一种思 维方式,用如下方法证明这个结论: 探究：（1）假设它是直角三角形; （2）根据勾股定理，一定有a2 +b2 ＝c2，与已知条件a2 +b2 ≠ c2矛盾； （3）因此假设不成立，即它不是直角三角形. 猜想：当一个三角形的三边长a、b、c (a≤b≤c)存在关系a2 +b2≠c2时,这个三角形不是直角三角形. 怎样证明这个猜想是正确的呢？ 这种证明方法叫做“反证法”. a b c C A B 【探究】反证法 探究与应用 【步骤】 先假设结论的反面是正确的，然后通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件等相矛盾；从而说明假设不成立，进而得出原结论正确. 反证法： 回想一下，以前用过类似的方法吗？ 【探究】反证法 【思考】 探究与应用 在△ABC中，如果AB=c，BC=a，CA=b，且∠C≠90°， 那么a +b ≠c 是真命题吗？ 解（反证法）：假设a +b =c ， 则有 ∠C=90°， 这与条件∠C≠90°矛盾， 所以假设不成立， 可知结论a +b ≠c 成立. 【探究】反证法 【应用】 探究与应用 例1 证明:两条直线相交只有一个交点. 已知:两条相交直线l1与l2. 求证: l1与l2只有一个交点. 证明：假设两条相交直线 l1与l2不止一个交点，不妨假设 l1与l2有两个交点A和B. 这样过点A和点B就有两条直线l1和l2.这与“两点确定一条直线”，即“经过点A和点B的直线只有一条”这个基本事实矛盾. 所以假设不成立，因此两条直线相交只有一个交点. 分析：想从已知条件“两条相交直线l1与l2”出发,经过推理,得出结论“l1与l2只有一个交点”是很困难的,因此可以考虑用反证法. 【探究】反证法 【应用】 探究与应用 例2 证明:在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°. 已知：△ABC. 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°. 证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于 60°， 即∠A> 60°， ∠B > 60°， ∠C> 60°. 于是∠A + ∠B + ∠C > 60° + 60° + 60° = 180°, 这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾. 所以△ABC中至少有一个内角小于或等于60°. 【探究】反证法 探究与应用 运用反证法证明命题时，常见的结论词的否定形式有： 结论词 是 都是 大(小) 于 能 相等 至少 有一个 至少 有n个 至多 有一个 负数 否定 形式 不是 不都是 不大 (小)于 不能 不相等 一个也 没有 至多有 (n－1)个 至少 有两个 非负数 课堂小结 课堂小结与检测 反证法 反证法的概念 反证法的证明步骤： 假设命题不成立→正确的推 ... ...
