天津市南开大学2025-2026学年高一新生入学考试（伯苓班、卓越班二次选拔考试）数学试卷（含答案）

2025-2026学年天津市南开大学高一新生入学考试 数学试卷 1.求的最小正周期． 2.集合，集合，若，求的取值范围． 3.求渐近线夹角为的双曲线的离心率． 4.，试比较与大小． 5.棱长为的正方体中，，求四面体的体积． 6.数列中，，求． 7.复数满足，求． 8.求中的系数． 9.正三棱柱中任选两条棱，求这两条棱互为异面直线的概率． 10.等腰梯形的各边和对角线的长均为整数，求它的周长的最小值． 11.正四面体中，，求直线与夹角的余弦值． 12.已知，求的下确界． 13.抛物线与直线交于两点，，若外接圆的圆心在上，求的值． 14.等差数列，等比数列满足，，前项和为，求 15.证明存在成等差数列． 16.已知的左焦点为上一动点，射线与交于点，点在的切线与点在的切线交于点，求证：点的横坐标为定值． 参考答案 1.解：， 最小正周期为． 2.解：因为，所以对有，故且，解得，故． 3.解：如图以双曲线的中心为原点，焦点所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 故可设双曲线方程为， 故双曲线的渐近线方程为． 因为两渐近线的夹角为，所以直线的倾斜角为或， 所以或． 当时，双曲线的离心率， 当时，双曲线的离心率． 所以双曲线的离心率为或． 4.解：令，则，，，． 故． 5.解： 如图以点为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系． 则， 因，则可得：， 则， ， 在中，因，故， 则的面积为 设平面的法向量为， 则，故可取， 因点到平面的距离为， 故四面体的体积为． 6.【解：因为， 所以，即， 又，则， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 所以，所以． 7.解：设，则，， 所以，故， 则，故． 8.解：设为选的次数，为选的次数，为选的次数，则， 所以或， 那么中的系数为：． 9.解：异面直线对数：上下底棱之间共对，对应边平行的有对，故有对异面直线； 上底棱与侧棱有对异面直线；下底棱与侧棱有对异面直线，故总共有对异面直线． 所以正三棱柱中任选两条棱，这两条棱互为异面直线的概率． 10.解：设上底长，下底长，腰长，高，对角线长为，则，且则，，周长为． 若，由得代入得与为整数矛盾． 若，由得，所以可能取，即或或． 当，代入得，周长为． 当，不存在正整数使为完全平方数； 当，无正整数使为完全平方数 当时，假设该等腰梯形的周长不大于，则 因为，所以有“”、“”、“”、“”四种情况． 当时，所以，不是整数，不合题意． 当时，所以，不是整数，不合题意． 当时，所以，不是整数，不合题意． 当时，所以，不是整数，不合题意． 所以假设不成立，所以当时，该等腰梯形的周长大于． 综上所述，满足条件的等腰梯形的周长最小值为． 11.解：对角线向量定理， 设正四面体棱长为，则， 设直线与夹角为， 则． 12.解：令，则，可知同号，分类讨论如下： ， ，令， 则，可知， 综上所述：的下确界为． 13.解：设， 联立，消可得， 方程的判别式，故， 因为是方程的根， 所以， 设外接圆方程为， 将代入，可得， 所以， 由已知，都是圆与抛物线的交点， 设圆与抛物线的第四个交点横坐标为， 所以都是方程的解， 故恒成立， 比较方程左侧与右侧的项的系数可得，又， 所以，故圆也经过原点， 的垂直平分线方程为， 直线与的交点为， 所以的外接圆的圆心为，故， 又的垂直平分线方程为，， 所以的垂直平分线方程， 将代入得 所以． 14.解：，，， 则 ． 所以． 15.解：因为存在成等差数列． 所以只需证明在内有解． 方程转化为，设代入方程得： ， 令， 在区间上连续，由零点定理知存在 使得，即在内有解证毕 16.【详解】法一：设，令 则，，联立方程解得 因有， 将代入得因代入得 法二：设，令 则代入得 又，则，代入得 ，将代入得，整理得 ，又，联立得 因，故 第1页，共1页 ... ...