2025-2026学年广东省深圳市深圳实验学校高中园高二上学期培优 数学试卷 一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 , , = 1.对于空间任意一点 和不共线的三点 ，有如下关系： 6 + 1 + 1 3 2 ，则( ) A. , , , 四点必共面 B. , , , 四点必共面 C. , , , 四点必共面 D. , , , , 五点必共面 2.已知{ , , }为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是( ) A. + ， + ， B. + 2 ， ， C. 2 + ， + 2 ， + + D. + ， + 2 ， 2 → → 3.已知平面向量 = (1, )， = ( , 2)， = (3,6)，若 /\ !/ ， ⊥ ，则 + 为( ) A. 5 B. 5 C. 2 D. 41 4.如图，平行六面体 1 1 1 1的底面 是边长为 1 的正方形，且∠ 1 = ∠ 1 = 60°， 1 = 2，则线段 1的长为( ) A. 6 B. 10 C. 11 D. 2 3 5 9 13.已知空间向量 = 13, = 5，且 与 夹角的余弦值为 65 ，则 在 上的投影向量为( ) A. 9 13 9 13 9 9 13 B. 13 C. 25 D. 25 6.已知 ， 为两条不同的直线， ， 为两个不同的平面( ) (1) , , // , // // (2) // , ⊥ ⊥ (3) // , , // (4) ⊥ , ⊥ // A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 第 1页，共 7页 7.如图，在正三棱柱 1 1 1中，若 = 2 1，则 1与 1所成角的大小为( ) A. 60° B. 90° C. 105° D. 75° 8.如图，在三棱锥 中， ， ， 两两垂直，且 = = 3， = 4， 为 的中点，则 等于( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列四个结论正确的是( ) A. π任意向量 ， ，若 = 0，则 = 0 或 = 0 或 , = 2 B. 1 2若空间中点 ， ， ， 满足 = 3 + 3 ，则 ， ， 三点共线 C.空间中任意向量 , , 都满足 = D.若 // ， // ，则 // 10.下列说法不正确的是( ) A.若 = (1,2)， = (1, 1)，且 与 + 的夹角为锐角，则 的取值范围是( ∞,5) B.若 ， ， 不共线，且 = 2 4 + 3 ，则 ， ， 、 四点共面 C.对同一平面内给定的三个向量 ， ， ，一定存在唯一的一对实数 ， ，使得 = + ． D. 中，若 < 0，则 一定是钝角三角形． 11.如图，平行六面体 1 1 1 1中，以 为顶点的三条棱长均为 1，且两两之间的夹角都是 60°，则 下列说法中正确的是( ) A. 1 = 6 B. 1 ⊥ 1 C.向量 1 与 1 的夹角是 120° D. 61与 所成角的余弦值为 3 第 2页，共 7页 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12.已知平面向量 = 4, 3 , 2 = (2, 2)，则 与 的夹角余弦值等于 ． 13.如图，二面角 等于 120°， 、 是棱 上两点， 、 分别在半平面 、 内， ⊥ ， ⊥ ， 且 = = = 1，则 的长等于 ． 14 .平行六面体 1 1 1 1的底面 是菱形，且∠ 1 = ∠ 1 = ∠ = 60°.当 的值1 为 时，能使 1 ⊥平面 1 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题 13 分) 如图，在空间平移 到 ′ ′ ′ ，连接对应顶点，设 ′ = ， = ， = ， 是 ′的中点， 是 ′ ′的中点，用基底 , , 表示向量 ， ． 16.(本小题 15 分) 1 3 如图所示，在平行六面体 1 1 1 1中， 、 分别在 1 和 1 上，且 = 4 1， = 4 1． (1)证明 、 、 1、 四点共面； (2)若 = + + 1 ，求 + + 的值． 17.(本小题 15 分) 已知向量 = (1,2)， = (3, )， = (2, )，且 // ， ⊥ ． 第 3页，共 7页 (1)求向量 、 ； (2)若 = 2 ， = + ，求向量 ， 的夹角的大小． 18.(本小题 17 分) 如图，在直三棱柱 1 1 1中， = 3, = 4, = 5, 1 = 4． (1)求证：平面 1 ⊥平面 1 1； (2)求直线 与平面 1所成角的余弦值． 19.(本小题 1 ... ...
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