2025-2026学年南京市励志高级中学创新班高一（上）第一次月考 数学试卷 一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若向量 = (2,6)， = ( + 1, 2)，且 // ，则 =( ) A. 5 B. 52 2 C. 5 4 D. 5 4 2.已知向量 = (2,0)， = (3, 3)，则 cos 2 , =( ) A. 3 B. 75 5 C. 2 7 7 D. 7 7 3.已知向量 = (2,1)， = ( 3,1)，则向量 在向量 上的投影为( ) A. 10 3 2 2 3 12 B. 10 C. ( 2 , 2 ) D. ( 2 , 2 ) 4.若向量 与 满足( 2 ) = 2，且| | = 2，则 在 上的投影向量的模为( ) A. 2 B. 4 C. 5 D. 8 5.对于不同直线 ， 和平面 ， ，下列叙述错误的是( ) A. ⊥ ， ⊥ ，则 // B. ⊥ ， ∩ = ， ， ⊥ ，则 ⊥ C. ， ， ∩ = ， // ， // ，则 // D. // ， // ， ∩ = ，则 // 6. ， 为不同的平面， ， 为不同的直线，则下列判断正确的是( ) A.若 // ， // ，则 // B.若 // ， ，则 // C.若 ⊥ ， ⊥ ，则 // D.若 ⊥ ， ⊥ ，则 // 7.如图，在下列四个正方体中， 、 为正方体的两个顶点， 、 、 为所在棱的中点，则在这四个正方体 中，直线 与平面 平行的有( )个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第 1页，共 9页 8.如图，在△ 中，已知 = 2， = 5，∠ = 60°， 、 边上的两条中线 ， 相交于点 ， 则∠ 的余弦值为( ) A. 4 91 B. 2 91 C. 91 4 9191 91 91 D. 91 二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知正方体 1 1 1 1，则( ) A.直线 1与 1所成的角为 60° B.直线 1与 1 所成的角为 90° C.直线 1平面 1 1所成的角为 45° D.直线 1与平面 1 1所成的角为 45° 10.如图，四棱锥 中，底面 为菱形， ， 分别为 ， 的中点，则 ⊥平面 的一个充 分条件可以为( ) A. ⊥ B. ⊥平面 C. = D. = 11.已知向量 = (2, 1), = ( 3, 1)，则( ) A. ( + ) ⊥ B. 1向量 在向量 上的投影向量是 2 C. |2 + | = 10 D. 3 10 10与向量 方向相同的单位向量是( 10 , 10 ) 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12 6.已知等边△ 的平面直观图△ ′ ′ ′的面积为16，则等边△ 的面积是_____． 13.定义：向量 × 叫向量 与 的外积，且 × 的模为| × | = | || |sin , (其中 , 表示向量 与 的夹 角).已知点 (0,1)， (2,0)， (3,2)，则| × | =_____． 14.已知向量 , , 的模长分别为 2，1，1，记向量 与 11的夹角为 ， = 20，则| + |的最大值为_____． 四、解答题：本题共 6小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题 12 分) 已知 = ( 3 , 1 ), = ( , 1 + )，函数 ( ) = 12． (1)求函数 ( )的解析式和单调增区间； (2)当 ∈ [ , 5 12 12 ]时，求函数 ( )的最小值和最大值． 第 2页，共 9页 16.(本小题 13 分) 已知： 、 、 是同一平面内的三个向量，其中 = (1,2) (1)若| | = 2 5，且 // ，求 的坐标； (2)若 = (1,1)，且 与 + 的夹角为锐角，求实数 的取值范围． 17.(本小题 13 分) 已知 ， 是单位向量，且 = 0． (1)若非零向量 满足( ) ( ) = 0，求| |的最大值； (2)若向量 满足| | = 1，求| |的取值范围． 18.(本小题 13 分) 如图，四棱锥 中， ⊥平面 ，底面 是正方形， = = 2， 为 中点． (1)求证： //平面 ； (2)求证： ⊥平面 ； (3)设平面 ∩平面 = ，求证： //平面 ． 19.(本小题 13 分) 如图 1，四边形 为菱形，∠ = 60°，△ 是边长为 2 的等边三角形，点 为 的中点，将△ 沿 边折起，使 = 3，连接 ，如图 2， (1)证明： ⊥ ； (2)求异面直线 与 所成角的余弦值； (3)在线段 上是否存在点 ，使得 //平面 ？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由． ... ...
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