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课件网) 15.1.2 线段的垂直平分线 课时1 线段的垂直平分线的性质与判定 第十五章 轴对称 1.理解线段垂直平分线的性质和判定； 2.能运用线段垂直平分线的性质和判定解决实际问题； 3.简单了解关于命题和定理的相关内容. 甲乙两位同学在玩一个游戏,甲在点A处,乙在点A′处,把宝物放在什么地方对两人是公平的,除线段AA′的中点外还有别的地方吗 A′ A 什么叫线段的垂直平分线？ 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线. 如图，MN⊥AA′，垂足为P，且 AP = A′P，则称直线MN是线段AA′ 的垂直平分线. N M P A′ A 类比角的平分线研究线段的垂直平分线.角的平分线的性质反映了角的平分线上的点到角两边的距离的关系，类似地，我们研究线段的垂直平分线上的点与线段两个端点的距离的关系. 【探究】如图，直线 l 垂直平分线段AB，点P1，P2，P3，…在 l 上，分别比较点P1，P2，P3，…与点A的距离和这些点与点B的距离，你有什么发现？ A B l P1 P2 P3 【猜想】线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 可以发现，P1A=P1B，P2A=P2B，P3A=P3B，…，如果把线段AB沿直线L对折，线段P1A与P1B、线段P2A与P2B、线段P3A与P3B…··都是重合的，因此它们也分别相等．由此猜想线段的垂直平分线有以下性质： A B l C P 已知：如图，直线 l⊥AB，垂足为C，AC = BC，点P 在 l 上． 求证：PA =PB． 证明：当点P与点C不重合时， ∵ l⊥AB， ∴ ∠PCA =∠PCB = 90°． 又 AC =CB，PC =PC， ∴ △PCA△PCB（SAS）． ∴ PA =PB． 当点P与点C重合时，显然成立 线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 符号语言： ∵ OA =OB，l⊥AB， ∴ PA =PB． A B l O P 如图，在△ABC中，BC=8，AB 的垂直平分线交BC于D，AC 的垂直平分线交BC 与E，则△ADE 的周长等于_____． A B C D E 8 【思考】把上面线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗？即如果PA = PB，那么点 P 是否在线段 AB 的垂直平分线上呢？ 【猜想】与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，即如果 PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上. A B l O P 同样地，通过证明两个三角形全等，可以得到猜想： 已知：如图，PA = PB． 求证：点P在线段AB 的垂直平分线上． 证明：如图作PC⊥AB ，则∠PCA =∠PCB = 90°． 在Rt△PCA 和Rt△PCB 中， ∵ PA = PB，PC = PC， ∴ Rt△PCARt△PCB（HL）． ∴ AC =BC． 又 PC⊥AB， ∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上 A B P C 线段垂直平分线的判定： 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 符号语言：∵PA =PB， ∴点P 在AB 的垂直平分线上． A B l O P 例 如图，已知：在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且OB＝OC， 求证：AO⊥BC. 证明：∵OB＝OC， ∴点O在BC的垂直平分线上. 又∵AB＝AC， ∴点A在BC的垂直平分线上， 即A，O均在BC的垂直平分线上， ∴AO⊥BC. 这两个命题的题设、结论正好相反.我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题，如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题. 【思考】分析上面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？你还学习过其他具有类似关系的命题吗？ 如果一个点到线段两个端点的距离相等， 那么这个点在这条线段的垂直平分线上. 如果一个点在这条线段的垂直平分线上， 那么这个点到线段两个端点的距离相等. 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理. 在几何中，有许多互逆的定理，例如：关于垂直平分线的两个互逆命题是互 ... ...
