2025-2026学年广东省深圳市深圳实验学校高中园高二上学期培优数学试卷（含答案）

2025-2026学年广东省深圳市深圳实验学校高中园高二上学期培优 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.对于空间任意一点和不共线的三点，有如下关系：，则( ) A. 四点必共面 B. 四点必共面 C. 四点必共面 D. 五点必共面 2.已知为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是( ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3.已知平面向量，，，若，，则为( ) A. B. C. D. 4.如图，平行六面体的底面是边长为的正方形，且，，则线段的长为( ) A. B. C. D. 5.已知空间向量，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为( ) A. B. C. D. 6.已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面( ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 7.如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为( ) A. B. C. D. 8.如图，在三棱锥中，，，两两垂直，且，，为的中点，则等于( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列四个结论正确的是( ) A. 任意向量，，若，则或或 B. 若空间中点，，，满足，则，，三点共线 C. 空间中任意向量都满足 D. 若，，则 10.下列说法不正确的是( ) A. 若，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是 B. 若，，不共线，且，则，，、四点共面 C. 对同一平面内给定的三个向量，，，一定存在唯一的一对实数，，使得． D. 中，若，则一定是钝角三角形． 11.如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为，且两两之间的夹角都是，则下列说法中正确的是( ) A. B. C. 向量与的夹角是 D. 与所成角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知平面向量，则与的夹角余弦值等于 ． 13.如图，二面角等于，、是棱上两点，、分别在半平面、内，，，且，则的长等于 ． 14.平行六面体的底面是菱形，且当的值为 时，能使平面 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 如图，在空间平移到，连接对应顶点，设，，，是的中点，是的中点，用基底表示向量，． 16.本小题分 如图所示，在平行六面体中，、分别在和上，且，． 证明四点共面； 若，求的值． 17.本小题分 已知向量，，，且，． 求向量、； 若，，求向量，的夹角的大小． 18.本小题分 如图，在直三棱柱中，． 求证：平面平面； 求直线与平面所成角的余弦值． 19.本小题分 如图，在棱长为的正方体中，分别为的中点，点在上，且． 求证：； 求与所成角的余弦值． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：如图，由已知得是三棱柱，所以各侧面均为平行四边形， 因为是的中点， 所以， 因为是的中点， 所以． 16.解：证明：在平行六面体中，，， ， 所以共面，且为公共点， 所以四点共面； ， ， ， ， ， ． 17.解：因为，，，且，， 所以，， 所以，， 所以，； 解：设向量，的夹角的大小为． 由题意可得，，， 所以， 因为，所以． 18.解：，有，则， 直三棱柱中，平面，平面，， 平面，，平面， 平面，平面平面； 连接，与相交于点，连接， ，侧面为正方形，则有 平面，平面，， 平面，，平面， 则直线与平面所成角为， ，则，，又，则， 则， 所以直线与平面所成角的余弦值为． 19.解： 证明：以所在直线分别为轴，轴，轴，建系如图， 则根据题意可得： ，即，； 由知 又与所成角的范围为，与所成角的余弦值为． 第1页，共1页 ... ...