18.4 整数指数幂（第1课时） 1．理解负整数指数幂的意义． 2．能熟练地运用整数指数幂的运算性质进行运算． 掌握整数指数幂的运算性质． 理解负整数指数幂的产生过程及运算性质的拓展过程． 知识回顾 【问题】1．你还记得正整数指数幂的意义吗？正整数指数幂有哪些运算性质？ 【师生活动】教师提出问题，学生独立思考并回答． 【答案】正整数指数幂的定义：当n是正整数时，an＝． 正整数指数幂的运算性质： （1）·＝（m，n是正整数）； （2）＝（m，n是正整数）； （3）＝（n是正整数）； （4）÷＝（a≠0，m，n是正整数，m＞n）； （5）＝（n是正整数）． 此外，我们还学习过0指数幂：当a≠0时，a0＝1． 【设计意图】带领学生复习已经学过的正整数指数幂的相关知识，巩固基础，为本节课学习新知识做好准备． 新知探究 一、探究学习 【问题】随着我们认识的数的范围不断扩大，数的运算也在不断推广．例如，加法运算从非负整数范围推广到非负有理数范围，再到有理数范围．同样地，对于幂的运算an，是否也可以从正整数指数幂推广到更大的范围呢？ 【师生活动】教师和学生共同追溯幂的符号的演变． 幂的符号的演变经历了漫长的时间，a2，a3，a4的一些表示如图所示． an这种幂的符号不仅简明、利于运算，而且有助于幂的运算的推广．1676年，牛顿提出了一个设想：“因为数学家将aa，aaa，aaaa，…写成a2，a3，a4，…，所以我将，，，…写成a－1，a－2，a－3，…．” 【思考】你认为牛顿的这个设想合理吗？也就是说，如果am中的m可以是负整数，那么负整数指数幂am表示什么？ 【问题】你能试着计算a3÷a5（a≠0）吗？ 【师生活动】教师提出问题，学生思考，独立解决；教师展示学生的不同答案． 【答案】由分式的约分可知，当a≠0时，a3÷a5＝＝＝①． 另一方面，如果把正整数指数幂的运算性质÷＝（a≠0，m，n是正整数， m＞n）中的条件m＞n去掉，即假设这个性质对于像a3÷a5的情形也能使用，则有a3÷ a5＝＝②． 【思考】an中的指数n可以是负整数吗？如果可以，那么负整数指数幂an表示什么？ 【师生活动】教师引导学生：由①②两式，我们想到如果规定＝（a≠0），就能使÷＝这条性质也适用于像a3÷a5这样的情形．这样可以扩大这条性质的适用范围，同时也可以更简便地表示分式． 【新知】数学中规定： 一般地，当n是正整数时，＝（a≠0）． 这就是说，（a≠0）是的倒数． 【思考】引入负整数指数幂后，指数的取值范围就扩充到全体整数．你现在能说出当m分别是正整数、0、负整数时，各表示什么意思吗？ 【师生活动】学生分组讨论，得出结论．学生回答后，师生一起总结． 【答案】当m是正整数时，表示m个a相乘； 当m是0时，设a≠0，即为a0，值为1； 当m是负整数时，设a≠0，即为的倒数． 二、典例精讲 【例1】填空： （1）＝_____，＝_____，＝_____； （2）＝_____，＝_____，＝_____． 【师生活动】学生独立完成，教师巡查，予以辅导，提醒学生指数的负号表示取倒数，底数的负号表示负数． 【解析】（1）＝，＝，＝＝2； （2）＝＝，＝＝，＝＝． 【答案】（1） 2 （2） ， ． 【归纳】＝（a≠0，n是正整数）这个公式也可以写成＝，其中a≠0，n是正整数，当遇到负整数指数幂的底数是分数或分式时，应用此结论比较方便． 如：＝＝． 【设计意图】通过例题，帮助学生更深刻地理解负整数指数幂的含义，加深（a≠0）是an的倒数的理解． 三、探究学习 【问题】引入负整数指数和0指数后，正整数指数幂的运算性质·＝（m，n是正整数）能否推广到m，n是任意整数的情形 ... ...
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