1.1探索勾股定理 【知识点1】勾股定理的证明 1 【知识点2】勾股定理的应用 1 【知识点3】勾股定理 2 【题型1】勾股定理的证明 2 【题型2】直接运用勾股定理求三角形边长 7 【题型3】与勾股定理有关的面积关系 9 【知识点1】勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 【知识点2】勾股定理的应用 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 【知识点3】勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有：a=，b=及c=． （4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 【题型1】勾股定理的证明 【典型例题】勾股定理在平面几何中有着不可替代的重要地位，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长均为1的小正方形和Rt△ABC构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．将图1按图2所示“嵌入”长方形LMJK，则该长方形的面积为（ ） A.120 B.110 C.100 D.90 【答案】B 【解析】解：延长AB交KL于点O，延长AC交LM于点P，如图2所示： 则四边形AOLP是矩形， ∴∠BOF＝∠BAC＝90°， ∵四边形BCGF是正方形， ∴BC＝BF，∠CBF＝90°， ∴∠ABC+∠OBF＝90°， 又∵Rt△ABC中，∠ABC+∠ACB＝90°， ∴∠OBF＝∠ACB， 在△OBF和△ACB中， ， ∴△OBF≌△ACB（AAS）， ∴AC＝OB， 同理：△ACB≌△PGC（AAS）， ∴PC＝AB， ∴AB+OB＝PC+AC， 即OA＝AP， ∴矩形AOLP是正方形，边长AO＝AB+OB＝AB+AC＝3+4＝7， ∴KL＝3+7＝10，LM＝4+7＝11， ∴长方形LMJK的面积为：10×11＝110， 故选：B． 【举一反三1】勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：A．大正方形的面积等于四个矩形的面积的和， ∴（a+b）2＝a2+2ab+b2， 以上公式为完全平方公式， ∴A选项不能说明勾股定理； B．由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积， ∴ab+ab+c2＝（a+b）（a+b）， 整理得a2+b2＝c2， ∴B选项可以证明勾股定理； C．大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ∴4×ab+c2＝（a+b）2， 整理得a2+b2＝c2， ∴C选项可以证明勾股定理； D．整个图形的面积等于边长为b的正方形的面积+边长为a的正方形面积+2个直角三角形的面积，也等于边长为c的正方形面积+2个直角三角形的面积， ∴b2+a2+2×ab＝c2+2×ab， 整理得a2+b2＝c2， ∴D选项可以证明勾股定理， 故选：A． 【举 ... ...
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