1.3勾股定理的应用 【知识点1】勾股定理的应用 1 【题型1】勾股定理与路径最短 1 【题型2】勾股定理与生活实际问题 6 【题型3】数学典籍中的勾股定理 9 【知识点1】勾股定理的应用 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 【题型1】勾股定理与路径最短 【典型例题】如图是一个长方体盒子，其长，宽、高分别为4，2，9，用一根细线绕侧面绑在点，处，不计线头，细线的最短长度为 A.12 B.15 C.18 D.21 【答案】B 【解析】解：如图所示： 连接，则即为所用的最短细线长， ，， 由勾股定理得：， 则， 故选：． 【举一反三1】如图，一只蚂蚁在底面半径为，高为的圆柱下底面的点处，它想吃到上底面上与点相对的点的食物，则蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：展开圆柱，侧面是矩形， 矩形的长是圆柱的底面周长的一半，即，矩形的宽是圆柱的高． 根据两点之间线段最短， 最短路程是矩形的对角线的长， 即， 故选：． 【举一反三2】如图是一个长方体盒子，其长，宽、高分别为4，2，9，用一根细线绕侧面绑在点，处，不计线头，细线的最短长度为 A.12 B.15 C.18 D.21 【答案】B 【解析】解：如图所示： 连接，则即为所用的最短细线长， ，， 由勾股定理得：， 则， 故选：． 【举一反三3】如图，一只蚂蚁在底面半径为，高为的圆柱下底面的点处，它想吃到上底面上与点相对的点的食物，则蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：展开圆柱，侧面是矩形， 矩形的长是圆柱的底面周长的一半，即，矩形的宽是圆柱的高． 根据两点之间线段最短， 最短路程是矩形的对角线的长， 即， 故选：． 【举一反三4】如图，圆柱形容器高为，底面周长为．在容器内壁距离容器底部的点处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，距离容器上沿与蚊子相对的点处，则壁虎捕捉蚊子需爬行的最短距离为 （不计壁厚）． 【答案】13 【解析】解：如图：高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一蚊子， 此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点处， ，， 将容器侧面展开，作关于的对称点， 连接，则即为最短距离， ． 故壁虎捕捉蚊子的最短距离为． 故答案为：13． 【举一反三5】如图，圆柱底面圆的半径为高为，将一根细棉线从底面点开始绕圆柱4圈后，挂在点的正上方点处，则这根细棉线的最短长度为 ． 【答案】26． 【解析】解：圆柱体的展开图如图所示： 用一棉线从顺着圆柱侧面绕4圈到的运动最短路线是在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成4个小长方形，沿着4个长方形的对角线运动到的路线最短， 圆柱底面半径为， 长方形的宽即是圆柱体的底面周长， 又圆柱高为， 小长方形的一条边长是， 根据勾股定理得． 答：这根棉线的长度最短是． 故答案为：26． 【题型2】勾股定理与生活实际问题 【典型例题】为了方便体温监测，某学校在大门入口的正上方处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当人体 ... ...
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