天津市第二中学2026届高三上学期开学学情调查数学试卷 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。 1.集合，，则图中阴影部分所表示的集合为( ) A. B. C. D. 2.已知，条件，条件，则是的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.函数的图象大致是( ) A. B. C. D. 4.设，，，则，，的大小关系是( ) A. B. C. D. 5.下列说法正确的是( ) A. 一组数据，，，，，，，的第百分位数为 B. 设且，则 C. 两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数越接近于 D. 在回归分析模型中，若决定系数越小，则残差平方和越大，模型的拟合效果越差 6.设，是两条不同的直线，，是两个平面，下列说法错误的是( ) A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，那么 7.已知分别是椭圆的左、右顶点，直线为椭圆的半焦距上存在点，使得是顶角为的等腰三角形，且的面积为，则椭圆的方程为( ) A. B. C. D. 8.在平面直角坐标系中，双曲线的左右焦点分别为，过且垂直于轴的直线与相交于两点，与轴的交点为，则的离心率为( ) A. B. C. D. 9.如图，该几何体为“四角反棱台”，它是由两个相互平行的正方形经过旋转，连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点．若下底面正方形边长为，“四角反棱台”高为，则该几何体体积为( ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10.若复数，则 ． 11.二项式的展开式中的系数为 ． 12.已知直线过抛物线的焦点且与直线垂直，则圆与直线相交所得的弦长为 ． 13.甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，采用局胜制．假设每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的结果相互独立，则甲以的比分获胜的概率为 ；在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是 ． 14.已知梯形中，为的中点，为与的交点，，则 ；若，则的余弦值为 ． 15.已知函数，若有个零点，则的取值范围为 ． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.在中，角的对边分别为，已知 求的值； 若， 求的值： 求的值． 17.已知函数 求函数的对称轴方程； 求函数的最大值及相应的值； 将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位，得到的图象，求的最小正周期和单调增区间． 18.如图，在三棱锥中，底面，，点分别为棱的中点，是线段的中点，． 求证：平面； 求平面与平面夹角的余弦值； 已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长． 19.已知数列是公差为的等差数列，其前项的和为数列是公比大于的等比数列，． 求数列和的通项公式； 记，，求数列的前项和； 记，，证明数列的前项和． 20.已知， 求在处的切线方程以及的单调性； 对，有恒成立，求的最大整数解； 令，若有两个零点分别为且为的唯一的极值点，求证：． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.解：在中，由正弦定理 可得：，整理得， 由余弦定理，可得； 由可得，又由正弦定理， 及已知，可得， 由已知，可得，故有， 为锐角，可得，； 由可得，， ． 17.解：因为， 所以， 令，，可得，， 所以函数的对称轴方程为，； 由， 故当，，即，时， 函数取得最大值，最大值为； 函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，可得函数的图象， 再将函数向右平移个单位，得到的图象， ， 故函数的最小正周期为， 令，，可得，， 所以函数的单调递增区间为． 18.解：在三棱棱中，底面，，易得两两垂直，故以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图， 因为点分别为棱的中点，是线段的中点，， 则， 则，， 设平面的一个法向量，则，即 令，则，故， 所以，故， 又平面，所以平面 ... ...
