2.4.1 函数的奇偶性 课件（16页） 2025-2026学年北师大版（2019）高中数学必修第一册

(课件网) 第二章 函数 2.4.1 函数的奇偶性 1.理解奇偶性的概念； 2.会用定义判断简单函数的奇偶性. 平面直角坐标系 中心对称： 轴 对 称： 生活中的对称图形 x … -2 -1 0 1 2 … … … … … 问题1：完成下列表格，回答问题. 4 4 1 0 1 1 0 1 （1）对定义域中的每一个 x，-x 是否也在定义域内？ （2）f (x) 与 f (-x) 的值有什么关系？ 函数的图象 关于y轴对称 1. 对定义域中的每一个x， -x是也在定义域内； 2. 都有 f (x) = f (-x). x … -2 -1 0 1 2 … … … … … 2 -2 1 0 -1 -1 0 1 - （1）对定义域中的每一个 x，-x 是否也在定义域内？ （2）f (x) 与 f (-x) 的值有什么关系？ 问题2：完成下列表格，回答问题. 函数的图象 关于原点对称 1. 对定义域中的每一个x， -x是也在定义域内； 2. 都有-f(x)=f(-x) -3 O x y 1 2 3 -1 -2 -1 1 2 3 -2 -3 -3 O x y 1 2 3 -1 -2 -1 1 2 3 -2 -3 1. 偶函数的定义： 已知某函数 f (x) 的定义域为A，如果对任意x∈A，都有f (-x) = f (x)，那么称函数 y = f (x) 是偶函数； 2.奇函数的定义： 已知某函数 f (x) 的定义域为A，如果对任意x∈A，都有 f (-x) = -f (x)，那么称函数 y = f(x) 是奇函数； 3.奇偶性： 如果一个函数 f (x) 是奇函数或偶函数，那么我们就说函数 f (x) 具有奇偶性. 判定函数奇偶性基本方法: ① 定义法：先看定义域是否关于原点对称，再看f (-x) 与 f (x)的关系； ② 图象法：看图象是否关于原点或 y 轴对称. 1.函数可划分为四类：奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数； 2.奇、偶函数定义的逆命题也成立，即： ①若 f (x) 为奇函数，则 f (-x) = -f (x)也成立； ②若 f (x) 为偶函数，则 f (-x) = f (x) 也成立； 3.奇、偶函数性质： ①偶函数的定义域关于原点对称图象关于 y 轴对称； ②奇函数的定义域关于原点对称图象关于原点对称. 例1：判断下列函数是否具有奇偶性： ； ； ； 解：（1） f (-x) = (-x) + (-x)3 + (-x)5 = -(x + x3 + x5) = -f (x)；奇函数； （2）非奇非偶函数；f (-x) 与 f (x) 即不相等也不为相反数； （3）非奇非偶函数；f (-x) 与 f (x) 即不相等也不为相反数； （4）非奇非偶函数 (定义域不对称) 例2：已知奇函数 f (x) 的定义域为 D，且0∈D，求证：f (0) = 0. 解：是奇函数，，即. 注意：若奇函数在 x = 0 处有定义，则该函数一定过原点. 1. 判断下列函数的奇偶性： （1）y = -2x2 + 1，x∈R； （2）f (x) = -x|x|； （3）y = -3x + 1； （4）f (x) = x2，x∈{-3，-2，-1，0，1，2}； （5）y = 0，x∈[-1，1]. （1）偶函数 （2）奇函数 （3）非奇非偶函数 （4）非奇非偶函数 （5）既是奇函数也是偶函数 2. 已知函数 f (x) 满足 f (-3) > f (-1) ，分别在下列条件下比较 f (3) 与 f (1).（1）f (x) 是偶函数； （2）f (x) 是奇函数. 解：（1）是偶函数，； ，； （2）是奇函数，； ，，. 1. 定义： 已知函数 f (x) 的定义域为 A，如果对任意的 x∈A，都有 f (-x) = f (x)，那么称函数 y = f (x)是偶函数； 已知函数 f (x) 的定义域为 A，如果对任意的 x∈A，都有 f (-x) = -f (x)，那么称函数 y = f(x)是奇函数； 2.性质：① 偶函数的定义域关于原点对称图象关于 y 轴对称； ② 奇函数的定义域关于原点对称图象关于原点对称. 回顾：本节课你学到了哪些知识？ ... ...