12.4 第3课时 角平分线 课件（共21张PPT）初中数学华东师大版（2024）八年级上册

(课件网) 12.4　逆命题和逆定理 第3课时　角平分线 第12章　全等三角形 1.会叙述角平分线的性质及判定；(重点) 2.能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理.能应用这两个性质解决一些简单的实际问题；(难点) 3.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力. 学习目标 知识点一　角平分线的性质定理 讲授新课 如图，某地政府要在S区建立一个集贸市场M，使它到公路、铁路的距离相等，这个集贸市场应建于何处 解：如图，作∠AOB的平分线OP，满足条件的点M在射线OP上. 公路 铁路 讲授新课 操作证明：(1)角是轴对称图形吗 它的对称轴在哪里 解：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴. 讲授新课 操作证明：(2)用折纸的方法作角平分线时，将∠AOB对折，再折成直角三角形，后再展开如图所示，观察 两个直角三角形全等吗 两条直角边PE，PD 有什么关系 并说明理由. 解：两个直角三角形全等，PE=PD. 理由：由题易知OC是∠AOB的平分线，∴∠AOC=∠BOC. ∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠ODP=∠OEP=90°. 在△OPD和△OPE中，∵∠POD=∠POE，∠ODP=∠OEP，OP=OP，∴△OPD≌△OPE(AAS)，∴PE=PD. 讲授新课 重点：(1)角是轴对称图形，但角平分线不是角的对称轴，角平分线所在的直线才是角的对称轴； (2)角平分线的性质定理中的相等“距离”是点到线的“垂线段的长度”相等.到三角形各边距离相等的点在三角形任意两个内角平分线的交点处，利用分割三角形面积的方法可以求出点到各边的距离. 归纳总结 角平分线的性质定理：角平分线上的点到　　 　　的 　　　　相等. 几何语言：如图. ∵BP平分∠ABC，且PD⊥AB于点D， PE⊥BC于点E， ∴PD=PE. 角两边 距离 应用一　利用角平分线的性质定理进行证明 典例精析 例1.如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，垂足分别为E，D，CF=CB.求证：BE=FD. 证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD， ∴CD=CE，△CBE，△CFD均为直角三角形. 在Rt△CBE和Rt△CFD中， ∵CB=CF，CE=CD，∴Rt△CBE≌Rt△CFD(HL)， ∴BE=FD. 归纳总结 重点：运用角平分线的性质定理时，必须写清两个条件： ①指明点在角的平分线上； ②两条线段必须是点到角两边的垂线段. 知识点二　角平分线的性质定理的逆定理 讲授新课 推理证明：1.已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，D，E为垂足，PD=PE.求证：点P在∠AOB的平分线上. 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°. 在Rt△DOP与Rt△EOP中，∵PD=PE，OP=OP， ∴Rt△DOP≌Rt△EOP，∴∠AOP=∠BOP， ∴OP是∠AOB的平分线， 即点P在∠AOB的平分线上. 讲授新课 2.根据上述两个定理，我们就能证明：三角形的三条角平分线交于一点. 已知：如图，AD，BE是△ABC的角平分线，AD，BE相交于点O. 求证：∠ACB的平分线也过点O. 证明：连结CO，延长CO交AB于点F，过点O作OH⊥AC 于点H，作OG⊥BC于点G，作OI⊥AB于点I. ∵AD是∠BAC的平分线，且点O在AD上，∴OH=OI. ∵BE是∠ABC的平分线，且点O在BE上，∴OG=OI，∴OH=OG. 又∵OH⊥AC，OG⊥BC，∴CF是∠ACB的平分线， ∴∠ACB的平分线也过点O. 归纳总结 1.角平分线的性质定理的逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的　　 　　上. 几何语言：如图. ∵PD⊥AB，PE⊥BC，且PD=PE， ∴点P在∠ABC的平分线上. 2.三角形的三条角平分线交于一点，并且该点到三角形三边的距离都相等. 平分线 应用二　利用角平分线的性质定理的逆定理进行证明 典例精析 例2.如图，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF，CE交于点D，且BD=CD.求证：点D在∠BAC的平分线上. 证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠CFD=∠BED=90°. 在△BDE和△CDF中， ∵∠BED=∠CFD，∠BDE=∠C ... ...