(课件网) 12.4 逆命题和逆定理 第2课时 线段垂直平分线 第12章 全等三角形 1.理解和掌握线段垂直平分线的定理及其逆定理，并能利用它们来进行证明或计算.(重点) 2.知道线段垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合. 3.了解数学和生活的紧密联系，培养用数学的能力. 学习目标 高速公路 A B 在某高速公路l的同侧，有两个工厂A、B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选在何处？你的方案是什么 l 情境导入 知识点一 线段垂直平分线的性质定理 如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB.将线段AB沿直线MN对折，你发现了什么？如何表达，并简述你的证明过程. M N P A C B 对折后PA、PB能够完全重合，PA=PB. 线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ 讲授新课 下面我们来证明刚才得到的结论： 证明：∵MN⊥AB(已知)， ∴∠ACP=∠BCP=90°(垂直的定义). 在△ACP和△BCP中， AC=BC， ∠ACP=∠BCP， PC=PC， 你能用一句话来描述刚得到的结论吗？ 讲授新课 M N P A C B ∴△ACP≌△BCP(SAS).∴PA=PB(全等三角形的对应边相等). 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 线段垂直平分线的性质定理： 几何语言叙述： ∵点P在线段AB的垂直平分 线上(或PC⊥AB，AC=BC)， ∴PA=PB. 归纳总结 M N P A C B 这一定理描述了线段垂直平分线的性质，那么反过来会有什么结果呢？写出性质定理及其逆命题的条件和结论，你有什么发现？ 条件 结论 性质定理 逆命题 一个点在线段的垂直平分线上. 这个点到线段两端的距离相等. 一个点到线段两端的距离相等. 这个点在线段的垂直平分线上. 想想看，这个逆命题是不是一个真命题？你能证明吗？ 知识点二 线段垂直平分线的判定定理 讲授新课 逆命题：如果一个点到线段两端的距离相等，那么这个点在线段的垂直平分线上. 已知：如图，QA＝QB. 求证：点Q在线段AB的垂直平分线上. 分析：为了证明点Q在线段AB的垂直平分线上， 可以先经过点Q作线段AB的垂线，然后证明该垂线平分线段AB； 也可以先平分线段AB，设线段AB的中点为点C，然后证明QC垂 直于线段AB. 讲授新课 证明：过点Q作MN⊥AB，垂足为点C， 故∠QCA=∠QCB=90°. 在Rt△QCA和Rt△QCB中，∵QA=QB，QC=QC， ∴Rt△QCA≌Rt△QCB(HL).∴AC=BC. ∴点Q在线段AB的垂直平分线上. 已知：如图，QA＝QB. 求证：点Q在线段AB的垂直平分线上. 你能根据分析中后一种添加辅助线的方法，写出它的证明过程吗？ 讲授新课 线段垂直平分线的判定定理： 应用格式： ∵PA=PB， ∴点P在AB的垂直平分线上. P A B 作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 线段垂直平分线的判定定理与性质定理互为逆定理. 归纳总结 讲授新课 做一做：利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，做完之后， 你发现了什么？ 发现：三角形三边的垂直平分线交于一点. 这一点到三角形三个顶点的距离相等. 怎样证明这个结论呢 试试看，你会写出证明过程吗？ B C A P l n m l是AB的垂直平分线 m是BC的垂直平分线 PA=PB PB=PC PA=PC 点P在AC的垂直平分线上. 讲授新课 分析：要证明三条直线相交于一点，只要证明其中两条直线的交点在第三条直线上即可.思路可表示如下： 怎样证明这个结论呢 证明：连接PA，PB，PC. ∵点P在AB，AC的垂直平分线上， ∴PA=PB，PA=PC(线段垂直平分线上 的点到线段两端距离相等). ∴PB=PC. ∴点P在BC的垂直平分线上(到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上). 讲授新课 试试看，你会写出证明过程吗？ B C A P l n m 1.如图所示，AC=AD，BC=BD，则下列说法正确的是( ) ... ...
