2.4 等腰三角形的判定定理 第2章 特殊三角形 学习目标 1.掌握等腰三角形判定定理. 2.在证明题中，通过角相等推导边相等，或通过边相等构造等腰三角形. 3.结合全等三角形、平行线等知识，综合解决几何图形中的边角关系问题. 新课引入 同学们，观察下图教室的门，当门打开时，门框和门形成的三角形形状如何变化？在什么情况下，这个三角形看起来两边长度相等？ 在开门的过程中，两边长度相等，形成等腰三角形. 如何用数学方法验证一个三角形是等腰三角形？ 除了测量两边长度，还有其他判定方法吗？ A 探究新知 B C AB AC 等腰三角形的判定定理： 有两个角相等的三角形是等腰三角形. 探究1.在纸上任意画线段BC，分别以点B和点C为顶点，以BC为一边，在BC的同 侧画两个相等的锐角，两角的另一边相交于点 A.量一量，线段 AB 与AC相等吗？ 其他同学的结果与你的相同吗？你发现了什么规律？ 线段AB与AC 相等. 探究新知 探究2.如图所示，在△ABC中，∠B=∠C.求证：△ABC是等腰三角形. 在△ABD和△ACD中， 因为∠1 = ∠2（角平分线的定义）， ∠B = ∠C（已知），AD = AD（公共边）， 可得△ABD≌△ACD（AAS）， 从而有AB=AC（全等三角形的对应边相等）， 所以△ABC是等腰三角形. 上述判定定理可以简单地说成：在同一个三角形中，等角对等边. 1 2 A B C D 证明：如图所示，作△ABC的角平分线AD. 探究3.已知：在△ABC中，∠A=∠B=∠C， 求证：△ABC是等边三角形（即AB=BC=CA）. 证明：∵∠A=∠B， ∴根据等角对等边，BC=AC. ∵∠B=∠C， ∴根据等角对等边，AC=AB. ∵∠A=∠C， ∴根据等角对等边，AB=BC. 综上，AB=BC=CA，即△ABC的三条边都相等. 探究新知 探究新知 探究4.已知：等腰三角形ABC，∠A=60?，求证：△ABC是等边三角形. 证明：(1)当∠A为底角时，因为△ABC是等腰三角形，所以 ∠A=∠B=60?，则顶角为180?-60?×2=60?，可得这个等腰 三角形的三个角都相等，所以这个等腰三角形是等边三角形. 分析：因为已知 60?的角可能是等腰三角形的底角，也可能是顶角， 所以分两种情形： (2)当∠A为顶角时，因为△ABC是等腰三角形，则底角为(180?-60?)÷2=60?， 可得这个等腰三角形的三个角都相等，所以这个等腰三角形是等边三角形. 归纳总结 等边三角形的判定定理： 三个角都相等的三角形是等边三角形. 有一个角是60?的等腰三角形是等边三角形. 等腰三角形的判定定理： 有两个角相等的三角形是等腰三角形. 例题讲解 例1.一次数学实践活动的内容是测量河宽，如图，即测量点A，B之间的距离.同学们想出了许多方法，其中小聪的方法是：从点 A出发，沿着与直线AB成 60?角的 AC方向前进至C，在C处测得∠C=30?.量出AC的长，它就是河的宽度（即点A， B之间的距离）.这个方法正确吗？请说明理由. 解：这个方法正确.理由如下： 因为∠CAD=∠B+∠C（三角形的外角等于 与它不相邻的两个内角的和）， 而∠B=∠CAD-∠C=60?-30?=30?， 则∠B=∠C， 所以AB=AC（在同一个三角形中，等角对等边）. 1.在如图的房屋人字梁架中，AB=AC，点D在BC上，下列条件不能说明 AD⊥BC的是( ) A.∠ADB=∠ADC B.∠B=∠C C.BD=CD D.AD平分∠BAC 课堂练习 B 课堂练习 2.在下列命题中：①有一个外角是120?的等腰三角形是等边三角形； ②有两个内角是60?的三角形是等边三角形； ③一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形； ④底边相等的两个等腰三角形全等.正确的命题有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 B 3.如图，已知射线OM，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A， 再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，作BD⊥OA， 垂足为D，则∠OBD的度数是_____. 30? 课堂练习 课堂练习 4.如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点D，AC于点E，连 ... ...
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