上海市大同中学2025-2026学年高三上学期摸底考数学试题（含答案）

大同中学2025-2026学年第一学期高三年级数学摸底考 2025.9 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分） 1. 已知集合， 则_____. 2. 已知函数，则_____. 3. 的展开式中各项系数的和为_____． 4. 在中，，，，则为_____. 5. 若双曲线 的离心率小于3，则m的取值范围为_____. 6. 已知单位向量满足，则的模为_____. 7．已知实数若、满足，则的最小值是_____． 8．某地为提高社区居民身体素质和保健意识，从5名医生和2名护士共7名医务工作者中选出队长1人、副队长1人普通医务工作者2人组成4人医疗服务队轮流到社区为居民进行医疗保健服务，要求医疗服务队中至少有1名护士，则共有_____种不同的选法（用数字作答）． 9. 某建筑物的部分建筑结构可以抽象为三棱锥，，底面是等腰直角三角形，且，顶点P到底面的距离为6，则点B到平面的距离为_____. 10. 渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄．对于男职工，新方案将延迟法定退休年龄每4个月延迟1个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁．如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如表所示： 出生时间 1965年1月－4月 1965年5月－8月 1965年9月－12月 1966年1月－4月 … 新方案法定退休年龄 60岁1个月 60岁2个月 60岁3个月 60岁4个月 … 那么1970年5月出生的男职工退休年龄为_____. 11. 设数列同时满足以下条件：①中的任意一项；②为减数列；③的所有项的和为m．记所有这样的不同数列的个数为．例如：当时，所有的不同数列为：与．从而． 若，则的通项公式为_____. 12.若两条曲线存在一个公共点，且在点处满足以下两个条件，则称这两条曲线在点 处相切，点 称为它们的切点：①两条曲线在点 处拥有同一条切线（即切线重合）；②两条曲线在点 P 处的切线斜率相等（若曲线可导）. 已知圆和轴相切，且和相切于点，则圆的半径为_____. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.） 13．设是虚数单位，条件复数是纯虚数，条件，则是的（ ） A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件 14. 设抛物线的焦点为F，点P为C上的任意点，若点A使得的最小值为4，则下列选项中，符合题意的点A可为（ ） A B. C. D. 15．已知是定义在上的偶函数，且，若当时，，则下列结论错误的是（ ） A．当时， B． C．的图像关于点对称 D．函数有个零点 16. 若函数满足：对于集合D内的任意，都存在，使得，则称函数在D上具有性质P．对于命题：①若函数在上具有性质P，则的取值范围是；②函数在上具有性质P，则的取值范围是或或．下列判断正确的是（ ）． A. ①和②均为真命题 B. ①为真命题，②为假命题 C. ①为假命题，②为真命题 D. ①和②均为假命题 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.） 17. 如图，在长方体中，，点F是的中点，点P在上，若过FP的平面交于E，交于Q．若点Q是的中点，且. （1）求异面直线EP与BQ所成角的余弦值； （2）若平面ABCD上有一点H满足平面，求点H的坐标． 18. 已知函数. （1）当时，求函数的零点； （2）若不等式在时恒成立，求实数k的取值范围. 19. 药物临床试验是确证新药有效性和安全性必不可少的步骤．某新药临床试验将14位病人志愿者平均分为、两组，他们服用该药物后的康复时间记录如下： 组：，，，，，，； 组：12，13，15，16，17，14，，其中为实数．假设所有病人的康复时间互相独立． （1）从组随机选1人记为甲，求甲的康复时间不少于组第60百分位数的概率； （2）若组病人康复时间方差小于组病人康复时间的方差，求实数的取值范围． 20. 椭 ... ...