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课件网) 1.2 空间向量基本定理 人教A版（2019）选择性必修第一册 第一章 空间向量与立体几何 学习目标 掌握空间向量基本定理 01 会用空间向量基本定理对向量进行分解 02 会用空间向量基本定理证明平行、垂直问题和求夹角 03 新知引入 由平面向量基本定理可知： 平面内的任意一个向量 p 都可以用两个不共线的向量 a，b 来表示. 如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2． 若 e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 平面向量基本定理 类似的任意一个空间的向量，能否用任意三个不共面的向量来表示呢？ 探索新知 我们先从空间中三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况开始讨论. p i j k P Q O α 设 i，j，k 是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点 O． 对于任意一个空间向量 p ＝， 设 为 在 i，j 所确定的平面上的投影向量， 则 又 与 k 共线，由共线定理有 zk ， 即 zk . 探索新知 p i j k P Q O α 而在 i，j 所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对 (x,y)，使得 . 从而 zk， 因此，如果 i，j，k 是空间三个两两垂直的向量，那么对于任意一个空间向量 p 存在唯一有序实数组 (x,y,z)，使得 p＝xi＋ yj＋zk . 我们称 xi， yj，zk 分别为向量 p 在 i，j，k 上的分向量. 你能证明唯一性吗？ 探索新知 式子 p＝xi＋ yj＋zk 中的有序实数组 (x,y,z) 是唯一的吗？ 探索新知 探 究 在空间中，如果用任意三个不共面的向量 a，b，c 代替两两垂直的向量 i，j，k，你能得出类似的结论吗？ a b c p O P c C A B Q a b yb xa zc 作 向量 i，j 所确定的平面上取一点 Q，使得 由共线定理有 z ， 由平面向量基本定理有 ， 对任意三个不共面的向量 a，b，c，对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组 (x,y,z) ，使得 p ＝. 由空间向量线性运算有 ， 探索新知 空间向量基本定理 定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得 p＝xa＋yb＋zc． 由此可知，如果三个向量 a，b，c 不共面，那么所有空间向量组成的集合就是 { p | p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}． 基底：我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底， 基向量：a，b，c 都叫做基向量． 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 探索新知 单位正交基底 特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为 1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用 {i，j，k} 表示． i j k O 探索新知 正交分解 a P Q i j k O 由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量 a，均可以分解为三个向量 xi，yj，zk，使 a＝xi＋yj＋zk． 像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 典型例题 典型例题 典型例题 典型例题 典型例题 所以 典型例题 典型例题 典型例题 探索新知 归纳总结 首先根据几何体的特点，选择一个基底，把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示. 应用空间向量基本定理可以证明空间的线线垂直、线线平行，可求两条异面直线所成的角等. (1) 若证明线线垂直，只需证明两向量数量积为 0； (2) 若证明线线平行，只需证明两向量共线； (3) 若要求异面直线所成的角，则转化为两向量的夹角(或其补角). 探索新知 归纳总结 用空间向量基本定理解决立体几何问题： 转化 立体几何问题 向量运算 向量问题 向量问题的解 立体几何问题的解 转化 ①适当选取基底 ②用基向量表示相关向量 ③将相关向量的问题转化为基向量的问题 当堂检测 当堂检测 C 当堂检测 B 当堂 ... ...
