11.3乘法公式 【知识点1】平方差公式的几何背景 1 【知识点2】平方差公式 3 【知识点3】完全平方公式 4 【知识点4】完全平方公式的几何背景 4 【题型1】两数和（差）的平方公式的几何意义 6 【题型2】用平方差公式计算 10 【题型3】用两数和（差）的平方公式计算 12 【题型4】利用两数和（差）的平方公式变形求值 13 【题型5】用平方差公式确定某些整式的值 14 【题型6】平方差公式的实际应用 15 【题型7】用两数和（差）的平方公式求字母的值 17 【题型8】两数和（差）的平方公式的实际应用 18 【题型9】用平方差公式进行简便计算 21 【题型10】两数和（差）的平方公式与整式的混合运算与求值 22 【题型11】平方差公式的结构特征 24 【题型12】平方差公式的几何意义 25 【知识点1】平方差公式的几何背景 （1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）． （2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 1.（2024秋 庄浪县期末）如图，在边长为（x+a）的正方形中，剪去一个边长为a的小正方形，将余下部分对称剪开，拼成一个平行四边形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于x,a的恒等式是（ ） A．x2-a2=（x-a）（x+a） B．x2+2ax=x（x+2a） C．（x+a）2-a2=x（x+2a） D．（x+a）2-x2=a（a+2x） 【答案】C 【分析】分别列式表示出两图中阴影部分的面积，则可选出正确的结果． 【解答】解：由题意得，左图可表示阴影部分的面积为（x+a）2-a2， 由右图可表示阴影部分的面积为x（x+2a）， ∴（x+a）2-a2=x（x+2a）， 故选：C． 2.（2024秋 南宁期末）如图，从边长为a的正方形中去掉一个边长为1的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（ ） A．（a+1）（a-1）=a2-1 B．（a-1）2=a2-2a+1 C．（a+1）2=a2+2a+1 D．a（a+1）=a2+a 【答案】A 【分析】用代数式分别表示左图和右图阴影部分的面积即可． 【解答】解：左图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2-1，拼成的右图是长为a+1，宽为a-1的长方形，因此面积为（a+1）（a-1）， 所以有a2-1=（a+1）（a-1），即（a+1）（a-1）=a2-1， 故选：A． 【知识点2】平方差公式 （1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． （a+b）（a-b）=a2-b2 （2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 1.（2025春 沛县期中）下列各整式乘法能用平方差公式计算的是（ ） A．（m-n）（m+n） B．（-m-n）（m+n） C．（m-n）（n-m） D．（m+n）（n+m） 【答案】A 【分析】根据平方差公式的结构特征逐项进行判断即可． 【解答】解：A、（m-n）（m+n）=m2-n2，能用平方差公式计算，符合题意； B、（-m-n）（m+n）=-（m+n）2，能用完全平方公式计算，不符合题意； C、（m-n）（n-m）=-（m-n）2，能用完全平方公式计算，不符合题意； D、（m+n）（n+m）=（m+n）2，能用完全平方公式计算，不符合题意， 故选：A． 2.（2025春 蒲江县校级月考）下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是（ ） A．（m-n）（m-n） B．（m-n）（-m+n） C．（m-n）（-m-n） D．（m+2）（m-1） 【答案】C 【分析】根据平方差公式特点，逐一判断各选项，即可得到结果． 【解答】解：A．（m-n）（m-n）=（m-n）2，可以用完全平方公式， ... ...
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