13.1勾股定理及其逆定理 【知识点1】勾股定理 1 【知识点2】反证法 2 【知识点3】勾股定理的逆定理 2 【知识点4】勾股定理的证明 3 【知识点5】直角三角形的性质 3 【知识点6】勾股数 4 【题型1】勾股定理与逆定理的综合 4 【题型2】勾股数 6 【题型3】利用勾股定理解决图形面积问题 6 【题型4】勾股定理与数轴 8 【题型5】根据两锐角互余判断直角三角形 9 【题型6】利用勾股定理计算或证明线段的平方关系 9 【题型7】利用逆定理判断能否构成直角三角形 11 【题型8】用反证法证明命题 12 【题型9】勾股定理与折叠问题 13 【题型10】利用勾股定理求线段长 15 【题型11】勾股定理的证明 15 【题型12】反证法证明中的假设 17 【知识点1】勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有：a=，b=及c=． （4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 1.（2025春 云溪区期末）点P（-2，1）在平面直角坐标系中，则点P到原点的距离是（ ） A．2 B．-2 C． D． 【知识点2】反证法 （1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的． （2）反证法的一般步骤是： ①假设命题的结论不成立； ②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； ③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 1.（2024春 德清县期末）若用反证法证明命题“若a=0或b=0，则ab=0”时，应假设（ ） A．ab≠0 B．a≠0 C．b≠0 D．a≠b 2.（2023春 镇海区期末）用反证法证明“a＜b“时，首先应假设（ ） A．a＜b B．a≥b C．a≤b D．a＞b 【知识点3】勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形． 说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 1.（2025春 雨花区校级期末）下列条件中，能判断△ABC为直角三角形的是（ ） A．a：b：c=1：2：3 B．a=5，b=12，c=13 C．∠A+∠B=2∠C D．∠A：∠B：∠C=3：4：5 2.（2024秋 简阳市期末）△ABC的三边为a、b、c,不能判断△ABC为直角三角形的是（ ） A． B．a：b：c=3：4：5 C．∠A-∠B=∠C D．∠A：∠B：∠C=3：4：5 【知识点4】勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 1.（2024 晋中一模）国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术会议，第14届国际数学教育大会（1CME-14）将于2021年7月在上海举办，这是我国第一次承办此项大会．如图是这次大会的会标，会标蕴含了丰富的数学元素，其中会标中心的弦图是三国时期一位数学家所给 ... ...
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