24.3 第1课时 圆周角定理 素养目标 1.知道圆周角、圆心角的相关概念. 2.知道圆周角定理及其两条推论,了解圆周角定理的证明过程. ◎重点:圆周角定理. 【预习导学】 知识点一：圆周角的定义 阅读课本本课时“探究”之前的内容,回答下列问题. 概念:顶点在 ,并且两边都与圆 的角叫圆周角. 知识点二：圆周角定理及其推论 阅读课本本课时“探究”的相关内容,回答下列问题. 1.一条弧所对的圆心角有几个 圆周角有几个 2.讨论:请学生动手画出☉O中劣弧所对的圆心角和圆周角.观察所对的圆周角的个数以及它们的大小关系. 3.观察“图24-35”,一条弧所对的圆心角与圆周角有几种位置关系 每一种位置关系中,圆心角的大小与圆周角的大小有什么关系 归纳总结 圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对 的 . 4.想一想:(1)在同圆或等圆中,一条弧所对的圆周角都等于它所对圆心角的一半,说明这些圆周角都 ,反之,相等的圆周角所对的弧 也 . (2)如图,半圆所对的圆心角∠AOB是 ,由圆周角定理可知,半圆所对的圆周角∠ACB是 .反之, 所对的弧为半圆,弦即为 . 1.下列图形中的角是圆周角的是 ( ) A. B. C. D. 2.如图,AB是☉O的直径,CD是☉O的弦.若∠C=35°,则∠ABD的度数为 ( ) A.55° B.45° C.35° D.65° 3.如图,在边长为1的正方形方格中,以AB为直径的圆过C,D两点,则tan∠BCD的值为 . 【合作探究】 任务驱动一 求圆周角的度数 1.已知弦AB把圆周分成1∶3的两部分,弦AB所对的圆周角的度数是 . 任务驱动二 关于圆周角定理及其推论 2.如图,点A,B,D,E在☉O上,弦AE,BD的延长线相交于点C.若AB是☉O的直径,D是BC的中点. (1)试判断AB,AC之间的大小关系,并给出证明. (2)在上述题设条件下,△ABC还需满足什么条件,E才一定是AC的中点 (直接写出结论) 方法归纳交流———直径所对的圆周角是直角”是圆的又一个基本性质,遇到直径常设法构造直角三角形,再应用直角解决问题. 任务驱动三 利用圆周角定理推论及解直角三角形求角度 3.在半径为1的☉O中,弦AB,AC的长分别为和,求∠BAC的度数. 1.如图,AB是☉O的直径,若∠BDC=40°,则∠BOC的度数为 ( ) A.40° B.80° C.14° D.无法确定 2.如图,☉O的弦AB与CD交于点E,点F在AB上且FD∥BC.若∠AFD=125°,则∠ADC= °. 3.如图,以△ABC的一边为直径的半圆与其他两边AC,BC分别交于点D,E,连接AE,BD,且=. (1)求证:AC=AB. (2)若BC=8,BA=6,求CD的长. 参考答案 【预习导学】 知识点一 圆上 还有另一个公共点 知识点二 1.圆心角只有一个,圆周角有无数个. 2. 3.3种位置关系.圆周角都等于圆心角的一半. 归纳总结 圆心角 一半 4.(1)相等 相等 (2)180° 90° 90° 直径 对点自测 1.A 2.A 3. 【合作探究】 任务驱动一 1.45°或135° 任务驱动二 2.解:(1)AB=AC. 证法一:如图,连接AD, 则AD⊥BC. ∵AD公共边,BD=DC, ∴Rt△ABD≌Rt△ACD, ∴AB=AC. 证法二:如图,连接AD,则AD⊥BC.又BD=DC, ∴AD是线段BD的垂直平分线,∴AB=AC. (2)△ABC为正三角形或AB=BC或AC=BC或∠A=∠B或∠A=∠C. 任务驱动三 3. 解:如图,当圆心在∠BAC内部时,连接AO并延长交☉O于点E. 在Rt△ABE中,由勾股定理,得BE=1=AE, 所以∠BAE=30°. 同理,在Rt△CAE中,EC=AC, 所以∠EAC=45°,∠BAC=30°+45°=75°. 如图,当圆心O在∠BAC的外部时(∠BAC'),由轴对称性可知∠BAC'=45°-30°=15°. 所以∠BAC为75°或15°. 素养小测 1.B 2.55 3.解:(1)证明:∵=, ∴∠CAE=∠BAE. ∵AB为直径, ∴∠AEB=90°. ∵∠ABE+∠BAE=90°,∠C+∠CAE=90°, ∴∠ABC=∠C, ∴AC=AB. (2)∵∠CAE=∠CBD,∠ACE=∠BCD, ∴△CAE∽△CBD, ∴=,即=, ∴CD=. ... ...
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