高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册 第三章 3.1.2椭圆的简单几何性质 一、单选题 1.(2025浙江温州期中)已知椭圆，则椭圆的短轴长为（ ） A. B. C. 2 D. 4 2.（2025江西南昌二中期中）椭圆的长轴长与焦距之差等于（ ） A. B. C. D. 3.(2025天津五中段考)若椭圆经过点，且焦点分别为和，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 4.（2025北京二中段考）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（ ） A. B. C. 5 D. 5.(2024云南衡水教育集团十二校联考)数学家蒙日发现：椭圆的两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且该圆半径的平方等于椭圆长半轴长、短半轴长的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆。若椭圆的蒙日圆为，且椭圆的长半轴长，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 6.如图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于点，是椭圆的左焦点，则 =（ ） A. 35 B. 30 C. 25 D. 20 二、多选题 7.(2025湖北武汉汉阳一中、江夏一中联考)设椭圆的左、右焦点分别为，坐标原点为。若椭圆上存在一点，使得，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 的面积为2 D. 的内切圆半径为 8.(2025山东威海期中)已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与交于两点，轴，垂足为，直线与椭圆的另一个交点为，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则的面积为 B. 四边形可能为矩形 C. 直线的斜率为 D. 若与两点不重合，则直线和的斜率之积为 9.1970年4月24日，中国发射了第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此中国开创了人造卫星的新篇章。如图，某人造卫星在以地球为右焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即人造卫星的向径（人造卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等。设椭圆的长轴长、焦距分别为，，则（ ） A. 人造卫星向径的取值范围是 B. 人造卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁 C. 人造卫星的运行速度在近地点时最大，在远地点时最小 D. 人造卫星在左半椭圆轨道的运行时间大于其在右半椭圆轨道的运行时间 三、填空题 10.(2025浙江温州十校联合体期中)过椭圆的左焦点作直线交椭圆于两点，为椭圆的右焦点，则的周长为_____。 11.(2025福建泉州四校期中联考)已知，是圆上一动点，线段的垂直平分线交直线于点，则动点的轨迹方程为_____。 12.若椭圆上存在点，使得点到椭圆的两个焦点的距离之比为，则称该椭圆为“倍径椭圆”。写出一个长轴长为6的“倍径椭圆”的标准方程：_____。 四、解答题 13.(2025江苏南通启东中学月考)如图，都是椭圆的顶点，上一点满足，过点向轴引垂线，垂足恰为焦点。 (1) 求的离心率； (2) 若的面积比的面积大，求的方程。 14.(2025福建厦门双十中学月考)已知椭圆的中心为坐标原点，左焦点为，长轴长为4。 (1) 求椭圆的方程； (2) 若直线与椭圆交于不同的两点，求弦长。 15.设分别是椭圆的左、右焦点，是上一点，且与轴垂直，直线与的另一个交点为。 (1) 若直线的斜率为，求椭圆的离心率； (2) 若直线在轴上的截距为2，且，求椭圆的标准方程。 一、单选题 1.答案：B 解析：椭圆标准方程为（），短轴长为。 由椭圆，得，即，因此短轴长。 2.答案：B 解析：椭圆中，长轴长为，焦距为，且满足。 由椭圆，得（），。 计算（），因此长轴长，焦距。 两者之差为。 3.答案：C 解析：椭圆焦点、在轴上，故；椭圆过，为上顶点，故。 由椭圆性质，得（）。 离心率。 4.答案：B 解析：的最大值为“椭圆上点到圆心的距离”与“圆半径”之和。 圆的圆心为，半径； 设在椭圆上，由椭圆方程得。 到圆心的距离，最大值为。 因此。 5.答案：D 解析：由蒙日圆定义，椭圆的蒙日圆半径平方等于。 蒙日圆，故； 已知，则，； 离心率 ... ...
