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课件网) 2.4.1 函数的奇偶性 学习目标 1.结合具体函数，了解奇偶性的概念，体现数学抽象的能力（重点） 2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法，体现逻辑推理的能力（重点） 3.会用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题，体现数学计算能力（难点） 新课导入 我们前面学习了函数的单调性和最值，那么函数除了单调性和最值还有其他的性质吗？ 下面我们研究两个函数：f(x)=x3和g(x)=x2的图象有什么特点，进而研究函数的其他性质. 我们知道一元二次函数的图象是轴对称图形，反比例函数的图象是中心对称图形. y x O y x O y＝x2 新课学习 例1：画出函数f(x)=x3的图象，并观察它的对称性. 列表 x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ··· f(x)=x3 ··· -27 -8 -1 0 1 8 27 ··· 新课学习 描点，连线 思考一下：根据函数图象，你可以观察到图象有什么性质？ 因为对任意的x，都有 (-x)3=-x3 即 f(-x)=-f(x) 结论：所以f(x)=x3关于原点对称 x f(x) -x f(-x) 新课学习 画出函数g(x)=x2的图象，并观察它的对称性. 列表 x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ··· f(x)=x2 ··· 9 4 1 0 1 4 9 ··· 新课学习 描点，连线 思考一下：根据函数图象，你可以观察到图象有什么性质？ 因为对任意的x，都有 (-x)2=x2 所以，对函数g(x)=x2来说，总有 g(-x)=g(x) 结论：所以g(x)=x2关于y轴对称 x g(x) -x g(x) 新课学习 奇函数的概念 设函数f(x)的定义域是D，如果对任意的x∈D，有-x∈D，且f(-x)＝-f(x)，那么称函数f(x)为奇函数. 奇函数的图象关于原点对称，反之亦然. 等价形式： 1.f(x)+f(-x)=0 2. 新课学习 思考一下：从奇函数的定义出发，如何证明函数y＝f(x)是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称？ 充分性：设P(x,y)是函数f(x)图象上任意一点，则y=f(x)． 因为函数f(x)的图象关于原点对称， 所以点P关于原点的对称点为Q(-x,-y)也在函数f(x)图象上，即-y＝f(-x)． 所以对任意的x，都有f(-x)＝f(x)，所以函数y＝f(x)是奇函数． 必要性：设P(x,y)是函数f(x)图象上任意一点，则y＝f(x)． 记点P关于原点的对称点为Q，则Q(-x,-y)． 因为函数f(x)是奇函数，所以f(-x)＝-f(x)，即-y＝f(x)． 所以点Q在函数f(x)图象上，所以函数y＝f(x)的图象关于原点对称． 新课学习 偶函数的概念 设函数f(x)的定义域是D，如果对任意的x∈D，有-x∈D，且f(-x)＝f(x)，那么称函数f(x)为偶函数. 偶函数的图象关于y轴对称，反之亦然. 等价形式： 1.f(x)-f(-x)=0 2. 新课学习 奇偶性的概念 当函数f(x)是奇函数或者偶函数时，称f(x)具有奇偶性，奇函数和偶函数的定义域均关于原点对称，如(-a,a),[-a,a](a>0)等. 方法：研究函数的奇偶性时，可以先讨论它在非负区间上的性质，然后利用对称性便可知它在非正区间上的性质. 新课学习 例2:根据定义，判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝-2x5 ； 函数f(x)=-2x5 的定义域为R，对任意x∈R，有 f(-x)=-2(-x)5=2x5，-f(x)=-(-2x5)=2x5． 即 f(-x)=-f(x) 所以函数f(x)=-2x5为奇函数． 新课学习 例2:根据定义，判断下列函数的奇偶性： (2)g(x)=x4＋2; 函数g(x)=x4＋2的定义域为R，对任意x∈R，有 g(-x)=(-x)4+2＝x4＋2， 即 g(-x)＝g(x) 所以函数g(x)＝x4＋2为偶函数． 新课学习 例2:根据定义，判断下列函数的奇偶性： (3) 函数 的定义域为{x|x≠0}，对任意x∈{x|x≠0}，有 即 h(-x)＝h(x) 所以函数 为偶函数． 新课学习 例2:根据定义，判断下列函数的奇偶性： (4) 定义域不关于原点对称， 所以函数既不是奇函数也不是偶函数． 新课学习 拓展：判断函数奇偶性的方法 1.看函数的定义域.奇、偶函数的定义域关于原点对称.当函数的定义域不关于原点对称时，函数不具有奇偶性，即函数既不是奇函 ... ...
