第五章 一元一次方程 5.3 课时2 “盈不足” 问题 1.能列一元一次方程解决盈亏问题； 2.会用表格分析复杂问题中的数量关系，并体会盈亏问题 未知数的不同设法； 3.进一步体会用一元一次方程解决实际问题的步骤. 把一些书分给几名学生，如果每人分3本，那么多出8本；如果每人分5本，那么还少2本.共有多少本书？ 共有多少名学生？ 《九章算术》“盈不足”章第一题:今有共买物,人出八,盈三;人出七,不足四.问:人数、物价各几何? 题目大意:几个人合伙买东西,若每人出8钱,则会多出3钱;若每人出7钱,则还少4钱.合伙人数、物品的价格分别是多少? (1)问题中有哪些已知量和未知量?它们之间有怎样的等量关系? 解：(1)已知量:每人出8钱，多3钱;每人出7钱，少4钱. 未知量:人数、物价. 等量关系:每人出8钱×人数-多出的3钱=每人出7钱×人数+还少的4钱. 探究：古算术“盈不足”问题 (2)设人数为x,其他未知量能用含x的代数式表示吗?请完成下表. 有关量 每人出8钱 每人出7钱 人数 x ? 出钱总数 ? ? 物价 ? ? x 8x 7x 8x-3 7x+4 (3)设人数为x. 根据等量关系,列出方程: .? 解这个方程,得x= .? 因此,人数为 ,物价为 钱.? 8x-3=7x+4 7 7 53 利用表格分析数量关系是一种有效方法. 如果设物价为y钱,你能列出怎样的方程?与同伴进行交流. 解:设物价为y钱，根据题意，得 ????+???????? =??????????????, ? 解这个方程，得 y=53. ????+????????? = ????????+????????? = 7. 因此，人数为7，物价为53钱. ? 你更喜欢哪种设未知数的方法？ “盈不足”问题中一般有两个未知量和两个等量关系. 1.两个未知量:这类问题有两个未知数，设其中哪个为x都可以，另一个用含x的式子表示. 2.两个相等关系:一个用于设未知数，另一个用于列方程. 利用一元一次方程解决“盈不足”问题的方法： 例 《九章算术》“盈不足”章第五题:今有共买金,人出四百,盈三千四百;人出三百,盈一百.问:人数、金价各几何? 题目大意:几个人合伙买金,每人出400钱,会多出3400钱;每人出300钱,会多出100钱.合伙人数、金价各是多少? 有关量 每人出400钱 每人出300钱 人数 x ? 出钱总数 ? ? 金价 ? ? x 400x 300x 400x-3400 300x-100 分析：设人数为x，你能把下表补充完整吗？ 解：设合伙人数为x，则金价可表示为（400x-3400）钱，还可表示为（300x-100）钱，根据等量关系,列出方程 400x-3400=300x-100. 解这个方程,得 x=33. 300×33-100=9800. 因此，人数为33，金价为9800钱. 方程的两边就是金价的两种不同的表达式. (1)对于以上例题，如果设金价为y钱，能列出怎样的方程? 解:设金价为y钱,根据题意列方程,得 ????+????????????????????????????=????+????????????????????????, ? 解这个方程,得y=9800. ????+????????????????????????=????????????????+????????????????????????=33. ? 因此,人数为33,金价为9800钱. 思考·交流 (2)对于以上例题,《九章算术》给出了一种算法: 人数=两次剩余钱数之差÷两次每人所出钱数之差; 物价=每人出的钱数×人数-剩余钱数。 你能理解这种解法吗?与方程的求解过程相比，有什么不同?与同伴进行交流。 答:人数为(3400-100)÷(400-300)=33， 金价为400×33-3400=9800(钱). 思考：你认为列一元一次方程解应用题的主要步骤有哪些？关键是什么？ 1.审———通过审题找出等量关系（关键）. 6.———注意单位名称. 5.———检验求出的值是否为方程的解，并检验是否符合实际问题. 4.解———求出方程的解(对间接设的未知数切记继续求解). 3.列———依据找到的等量关系，列出方程. 2.设———设出合理的未知数(直接或间接)，注意单位名称. ??????????????????= ???????? ? 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗: “庭前孩童闹如 ... ...
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