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课件网) 4.4 指数函数、幂函数、对数函数的增长比较 学习目标 1.掌握幂函数与对数函数、幂函数与指数函数的增长差异，并能解决相关问题，体现逻辑推理能力（重点） 2.能正确的选择函数模型解决实际问题，体现数学计算能力（难点） 新课导入 我们知道，指数函数y=ax(a>1)，对数函数y=logbx(b>1)，幂函数y=xc(x>0，c>0)在定义域内都是增函数，当x的值趋近于正无穷大时，y的值都是趋近于正无穷大． 思考一下：这三个函数的函数值的增长快慢有什么差别呢 新课学习 先举例比较幂函数y=x0.5与对数函数y=log2x的增长情况. 观察下表 x 20 22 23 24 26 28 210 212 214 216 y=x0.5 1 2 4 8 16 32 64 128 256 y=log2x 0 2 3 4 6 8 10 12 14 16 结论：根据上表，可以得到可以看出，幂函数y=x0.5比对数函数y=log2x增长快，而且快很多. 新课学习 思考一下：观察上表，当b和c具有什么样的大小关系时，幂函数增长的比对数函数快？ 当b>1，c>0时，即使b很接近1，c很接近0，都有幂函数比指数函数增长的快. 新课学习 再举例比较幂函数y=x100与指数函数y=2x的增长情况. 观察下表 x 20 24 28 210 214 220 y=2x 2 216 2256 21024 216384 21048576 y=x100 1 2400 2800 21000 21400 22000 结论：根据上表，可以看出，当x的值充分大时，指数函数y=2x比幂函数y=x100增长快，而且快很多. 新课学习 思考一下：观察上表，当a和c具有什么样的大小关系时，幂函数增长的比指数函数快？ 当a>1，c>0时，即使b很接近1，c很大，都有指数函数y=ax比幂函数y=xc增长的快. 新课学习 比较一下y=2x，y=x2，y=log2x的增长快慢 1 2 4 y=2x y=x2 y=log2x 16 4 由右图，我们可以得到 1.对数函数y=log2x增长最慢 2.在(0,2)内，幂函数比指数函数增长快； 在(4,)内，指数函数比幂函数增长快 新课学习 比较一下y=4x，y=x4，y=log4x的增长快慢 1.对数函数y=log4x增长最慢 由右图，我们可以得到 2.在(0,4)内，幂函数比指数函数增长快； 在(4,)内，指数函数比幂函数增长快 x y y=4x y=x4 y=log4x 4 16 o 新课学习 思考一下：根据前面的两个比较，总结一下指数函数、对数函数、幂函数图象的特征． 指数函数：在上是增函数，增长速度：先慢后快，随x增大逐渐表现为与y轴“平行” 对数函数：在上是增函数，增长速度：先快后慢，随x增大逐渐表现为与x轴“平行” 幂函数：在上是增函数，增长速度：相对平稳，在上随x增大图象平稳上升 新课学习 以函数y＝2x和y＝2x为例，在同一直角坐标系中画出它们的图象，观察这两个函数的图象，它们在位置上有什么关系？这说明了什么？ 从图象上，发现函数y＝2x和y＝2x有两个交点(1,2)，(2,4)，并且这两个交点将区间[0,+∞)分成了三段，两个函数的图象位置关系在这三段有所不同． 这表明，虽然这两个函数在[0,+∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同，函数y＝2x的增长速度保持不变，而函数y＝2x的增长速度在变化． 新课学习 思考一下：通过对特定的指数函数和一次函数的研究，推广到一般情况，你能得到什么结论？ 通过对y＝2x和y＝2x的研究发现，虽然两个函数在区间[0,＋∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同.随着x的增大，y＝2x的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝2x的增长速度.因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，恒有2x＞2x. 一般地，指数函数y＝ax(a＞1)与一次函数y＝kx(k＞0)的增长差异都与上述情况类似．即使k的值远远大于a的值，y＝ax(a＞1)的增长速度最终都会大大超过y＝kx(k＞0)的增长速度． 新课学习 思考一下：通过对特定的对数函数和一次函数的研究，推广到一般情况，你能得到什么结论？ g 通过对y=lgx和y=0.1x的研究发现，虽然两个函数在区间[0,＋∞)上都单调递增，但它 ... ...
