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课件网) 沪科版·八年级上册 第2课时 角平分线的 性质与判定 1.角平分线的定义是什么？请你结合图1用几何符号语言表示出来。 ∵OC平分∠AOB,∴∠1=∠2（角平分线定义） ∵∠1=∠2，∴OC平分∠AOB （角平分线定义） A B C O 1 2 图1 2.垂直平分线的性质定理与判定定理分别是什么？ 性质定理：线段垂直平分线的点到线段两端点的距离相等。 判定定理：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。 复习回顾 请你用尺规作图法，在练习本上作出已知角∠AOB的平分线OC。 画一画 在你所作的图中，从∠AOB的平分线OC上任取一点P，作PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E,通过你的观察、猜想和测量，你能发现垂线段PD与PE有怎样的数量关系呢？ 量一量 探究新知 P 测量PD、PE的长 P P 你发现了什么？ D E 角平分线上的点到角两边的距离相等 你能用什么方法来证明你所猜想的结论？大家交流讨论，完成证明过程。 证一证 已知：在∠AOB的平分线OC上任取一点P，作PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E。 求证：PD=PE. 探究角平分线的性质 角平分线上的点到角两边的距离相等 已知：在∠AOB的平分线OC上任取一点P，作PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E。 求证：PD=PE. 证明：∵ OC是∠AOB的角平分线 ∴ ∠DOP=∠EOP 在△DOP和△EOP中, ∠DOP=∠EOP ∠ODP=∠OEP OP=OP ∴ △DOP≌△EOP（AAS) ∴ PD=PE ∵ OP是∠AOB的角平分线 PE⊥OA PF⊥OB ∴ PE=PF 几何语言 角平分线的性质 角平分线 上的点 到角两边的距离 相等 角平分线的性质 结论 角平分线的性质定理： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 符号语言 识记 一个平分，两个垂直 一个相等 ∵OC平分∠_____,PD⊥_____,PE⊥_____ ∴_____=_____. AOB OA OB PD PE 反过来，到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？ 已知：如图，P是∠AOB内部任意一点，作PD⊥OA， PE⊥OB，垂足分别为D、E。若PD=PE，那么点P在 ∠AOB的平分线上吗 再思考 B A D O P E 已知：如图所示，PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE。求证：∠AOP=∠BOP. 证明： ∴ 点 P 在∠AOB 角的平分线上. 在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中， (全等三角形的对应角相等). OP = OP (公共边)， PD = PE (已知)， ∵ PD⊥OA，PE⊥OB. ∴∠PDO =∠PEO = 90°. ∴ Rt△PDO≌Rt△PEO ( HL). ∴ ∠AOP =∠BOP 结论 角平分线的判定定理： 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 符号语言 识记 一个相等，两个垂直 一个平分 ∵PD⊥_____,PE⊥_____且_____=_____, ∴____平分∠_____. OA OB PD PE OP AOB 角的平分线的性质 角的平分线的性质 图形 已知 条件 结论 定理 角平分线上的点到角两边的距离相等. 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. P C P C OP平分∠AOB PD⊥OA于D PE⊥OB于E PD=PE OP平分∠AOB PD=PE PD⊥OA于D PE⊥OB于E 角的平分线的判定 总结 1.如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，DF ⊥ AC，垂足分别为点E，F. 判断下列结论是否正确. (1) DE =DF. ( ) (2) BE =CF. ( ) (3) AD上任一点到AB，AC的距离相等。 ( ) (4) AD上任一点到点B，C的距离相等。 ( ) 2.已知：如图，在四边形ABCD中，BC⊥AB，BC ⊥ CD，M是BC的中点，AM平分∠DAB.求证:DM平分∠ADC. 证明：作ME⊥AD于点E. 由题意可知： BM=EM ，BM=CM ∴EM=CM 又MD=MD ∴Rt△MED≌ Rt△MCD 所以∠3=∠4 ∴ DM平分∠ADC. 1.如图所示，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，BE，CD相交于点O，且OB=OC.求证：点O在∠BAC的平分线上. 运用新知 证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠BDO=∠CEO=90°. 又∵OB=OC，（已知）∠BOD=∠COE，（对顶角相等） ∴△BOD≌△COE（AAS） ∴OD=OE. ∴点O在∠BAC的平分线上.（角的内部到角两边距 ... ...
