*2.4 一元二次方程根与系数的关系 学习目标 【知识与技能】 掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题． 【过程与方法】 经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养观察思考、归纳概括能力、在运用关系定理解决问题的过程中，培养解决问题的能力，渗透整体的数学思想、求简思想． 【学习重点】 根与系数的关系及运用． 【学习难点】 定理的发现及运用． 学习过程 一、情景导入，初步认知 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的值是由a，b，c来决定的．除此之外，根与系数之间还有什么关系呢？ 二、思考探究，获取新知 1．探究规律 先填空，再找规律： 一元二次方程 x1 x2 x1＋x2 x1·x2 x2－2x＝0 0 2 2 0 x2＋3x－4＝0 －4 1 －3 －4 x2－5x＋6＝0 2 3 5 6 2.若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，猜想x1＋x2＝－，x1·x2＝. 3．你能证明你的猜想吗？ 当Δ≥0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个根，分别为 x1＝，x2＝. ∴x1＋x2＝－，x1·x2＝. 【归纳结论】当Δ≥0时，一元二次方程的根与系数之间具有如下关系：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比．即x1＋x2＝－，x1·x2＝.这个关系通常被称为韦达定理． 三、运用新知，深化理解 1．教材P47例1、例2. 2．利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2＋3x－1＝0的两个根的 (1)平方和；(2)倒数和． 分析：根据一元二次方程的两根与系数之间的关系可求． 解：设方程的两个根分别为x1，x2， 那么x1＋x2＝－，x1x2＝－. (1)∵(x1＋x2)2＝x＋2x1x2＋x， ∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝. (2)＋＝＝3. 3．已知方程5x2＋kx－6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k的值． 分析：根据一元二次方程的两根与系数之间的关系可求． 解：设方程的另一个根是x1，那么2x1＝－， ∴x1＝－. 又∵x1＋2＝－，∴k＝－7.2．2 一元二次方程的解法 2．2.1 配方法 学习目标 【知识与技能】 1．知道解一元二次方程的基本思路是“降次”化一元二次方程为一元一次方程． 2．学会用直接开平方法解形如(ax＋b)2－k＝0(k≥0)的方程． 3．理解“配方”是一种常用的数学方法，在用配方法将一元二次方程变形的过程中，进一步体会化归的思想方法． 【过程与方法】 通过探索配方法的过程，体会转化的数学思想方法． 【学习重点】 运用配方法解一元二次方程． 【学习难点】 把一元二次方程转化为形如(x＋n)2＝d(d≥0)的过程． 学习过程 一、情景导入，初步认知 1．根据完全平方公式填空： (1)x2＋6x＋9＝( )2； (2)x2－8x＋16＝( )2； (3)x2＋10x＋( )2＝( )2； (4)x2－3x＋( )2＝( )2. 2．前面已经学了一元一次方程和二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是什么？(消元、化二元一次方程组为一元一次方程)．由解二元一次方程组的基本思路，你能想出解一元二次方程的基本思路吗？ 3．你会解方程x2＋6x－16＝0吗？你会将它变成(x＋m)2＝n(n为非负数)的形式吗？试试看．如果是方程2x2＋1＝3x呢？ 二、思考探究，获取新知 1．解方程：x2－2 500＝0. 问：怎样将这个方程“降次”为一元一次方程？ 把方程写成x2＝2 500. 这表明x是2 500的平方根，根据平方根的意义，得x＝或x＝－， 因此，原方程的解为x1＝50，x2＝－50. 【归纳结论】一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根． 2．解方程：(2x＋1)2＝2. 解：根据平方根的意义，得 2x＋1＝或2x＋1＝－， 因此，原方程的根为 x1＝，x2＝－. 思考：通过上面的例题，你知道什么时候用开平方的方法来解一元二次方程呢？ 【归纳结论】对于形如(x＋n)2＝d(d≥0)的方程，可直接用开平方法解． 直接开平方法 ... ...
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