24．3 锐角三角函数 24．3.1 锐角三角函数 第1课时 学习目标 了解在直角三角形中，锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值是固定的；通过实例认识正弦、余弦、正切三个三角函数的定义，并能应用这些概念解决一些实际问题． 学习重难点 重点：理解三角函数的概念． 难点：区别三个三角函数． 学习过程 一、复习引入 在Rt△ABC中，若AC＝160 cm，∠B＝90°，∠C＝31°，那么AB的长度为多少呢？ 二、探究新知 1．明确直角三角形边角关系的名称． 直角三角形ABC可以简记为Rt△ABC，我们已经知道∠C所对的边AB称为斜边，用c表示，另两条直角边分别为∠A的对边与邻边，用a，b表示． 2．在直角三角形中，锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值是固定的． 3．如图，△ABC和△A1B1C1中，若∠C＝∠C1＝∠90°， ∠A＝∠A1，那么△ABC和△A1B1C1相似吗？BC与B1C1相等吗？ 和相等吗？ 分析：显然△ABC∽△A1B1C1， ＝，这说明在Rt△ABC中，只要一个锐角的大小不变，那么不管这个直角三角形大小如何，该锐角的对边与斜边的比值是一个固定值． 这说明，在直角三角形中，一个锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值是固定的． 总结：锐角三角函数的概念． 在Rt△ABC中． (1)∠A的对边与斜边的比值是∠A的正弦，记作sin A＝ ＝. (2)∠A的邻边与斜边的比值是∠A的余弦，记作cos A＝＝. (3)∠A的对边与邻边的比值是∠A的正切，记作tan A＝＝. 4．在Rt△ABC中，∠B的正弦、余弦、正切是哪一边与哪一边的比值？ 5．锐角三角函数都是正实数吗？为什么？ 6．若∠A是锐角，0＜sin A＜1，0＜cos A＜1，为什么？ 7．例题讲解． 例：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c.若a＝2b，求∠A和∠B的三个三角函数值． 分析：根据锐角三角函数的定义，锐角的三角函数值是比值，因此只要求出锐角所在的直角三角形任何两条边的比例关系，由a＝2b和勾股定理可以求出c与a或b的比例关系，进而求出∠A，∠B的四个三角函数值． 解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2b，∴c＝＝＝b. 如图所示，sin A＝＝＝，cos A＝＝＝，tan A＝＝＝2，sin B＝＝＝，cos B＝＝＝，tan B＝＝＝. 【方法归纳】比较例中sin A与cos B、cos A与 sin B、tan A与tan B的值，有sin A＝cos B，cos A＝sin B，tan A＝，这一规律对一般的直角三角形都成立． 三、巩固练习 教材P107练习的第1，2两题． 四、学习小结 在直角三角形中，当锐角一定时，它的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值是固定的，这几个比值称为锐角的三角函数，它反映的是两条线段的比值．第3课时 学习目标 知道测量中坡度、坡角的概念，掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度有关的实际问题． 学习重难点 重点：计算与坡度、坡角有关的问题． 难点：利用解直角三角形的方法熟练地解与坡度、坡角有关的实际问题． 学习过程 一、情景导入 如图，斜坡AB和斜坡A′B′哪一个倾斜程度比较大？显然，斜坡A′B′的倾斜程度比较大，说明∠A′＞∠A.从图形可以看出，＞，即tan A′＞tan A．在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度． 二、探究新知 1．坡度的概念，坡度与坡角的关系． 如图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，记作i，即i＝，坡度通常用l∶m的形式，例如上图中的1∶2的形式．坡面与水平面的夹角叫做坡角．从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i＝tan B，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡． 2．例题讲解． 例：如图，水库大坝横断面是梯形ABCD，坝顶宽BC为6 m，坝高为23 m，斜坡AB的坡 ... ...
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