4.7相似三角形的性质 【知识点1】相似三角形的性质 1 【题型1】相似三角形判定与性质的综合 1 【题型2】相似三角形对应线段的比等于相似比 5 【题型3】相似三角形的面积比等于相似比的平方 6 【知识点1】相似三角形的性质 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似． （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比； 相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． （3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． 【题型1】相似三角形判定与性质的综合 【典型例题】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，如果S△ACD：S△ABC＝1：2，那么S△AOD：S△BOC是（ ） A.1：3 B.1：4 C.1：5 D.1：6 【答案】B 【解析】∵在梯形ABCD中，AD∥BC，而且S△ACD：S△ABC＝1：2， ∴AD：BC＝1：2； ∵AD∥BC， ∴△AOD∽△BOC， ∵AD：BC＝1：2， ∴S△AOD：S△BOC＝1：4． 故选：B． 【举一反三1】如图，矩形ABCD中，AB＝，BC＝，点E在对角线BD上，且BE＝1.8，连接AE并延长交DC于F，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°，又AB＝，BC＝， ∴BD＝＝3， ∵BE＝1.8， ∴DE＝3﹣1.8＝1.2， ∵AB∥CD， ∴＝，即＝， 解得，DF＝， 则CF＝CD﹣DF＝， ∴＝＝， 故选：A． 【举一反三2】“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为（ ） A.1.25尺 B.56.5尺 C.6.25尺 D.57.5尺 【答案】D 【解析】依题意有△ABF∽△ADE， ∴AB：AD＝BF：DE， 即5：AD＝0.4：5， 解得AD＝62.5， BD＝AD AB＝62.5 5＝57.5（尺）． 故选：D． 【举一反三3】在△ABC中，MN∥BC 分别交AB，AC于点M，N；若AM＝1，MB＝2，BC＝3，则MN的长为 ． 【答案】1 【解析】∵MN∥BC， ∴△AMN∽△ABC， ∴，即， ∴MN＝1， 故答案为：1． 【举一反三4】已知：如图，正方形ABCD，BM、DN分别是正方形的两个外角平分线，∠MAN＝45°，将∠MAN绕着正方形的顶点A旋转，边AM、AN分别交两条角平分线于点M、N，连接MN． （1）求证：△ABM∽△NDA； （2）连接BD，当∠BAM的度数为多少时，四边形BMND为矩形，并加以证明． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝∠ADC＝∠BAD＝90°， ∵BM、DN分别是正方形的两个外角平分线， ∴∠ABM＝∠ADN＝135°， ∵∠MAN＝45°， ∴∠BAM＝∠AND＝45°﹣∠DAN， ∴△ABM∽△NDA； （2）解：∵四边形BMND为矩形， ∴BM＝DN， ∵△ABM∽△NDA， ∴＝， ∴BM2＝AB2， ∴BM＝AB， ∴∠BAM＝∠BMA＝＝22.5°． 【题型2】相似三角形对应线段的比等于相似比 【典型例题】已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为， ∴△ABC与△DEF对应中线的比为， 故选：A． 【举一反三1】如果一个直角三角形的两条边分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3,4及x，那么x的值( ) A.只有一个 B.可以有2个 C.可以有3个 D.无数个 【答案】B 【解析】∵一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形的边长分别是3和4及x，∴x可能是斜边或4是斜边，∴x＝5或7.∴x的值可以有2个．故选B. 【举一反三2】已知△ABC∽△DEF，且相似比为2∶3，则△ABC与△DEF的对应高之比为( ... ...
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