浙教版九上-重难点04 二次函数综合之矩形的存在性（模型讲解 典例 强化）（原卷+解析版）

中小学教育资源及组卷应用平台 【能力培优】浙教版数学九年级上册重难点与压轴题专题对点突破 重难点04 二次函数综合之矩形的存在性 三层巩固强化：知识梳理 + 经典例题 + 强化练习 在中考数学中，矩形的存在性问题常在动点和函数与几何综合题中考查，函数型综合题中矩形存在性问题，需要通过“代数语言”与“几何语言”的相互转化，渗透数形结合思想；用代数方法研究几何图形的性质，借助几何直观得到代数问题的解答．这一类压轴题的特点是以函数为载体，融合几何中很多知识点、思想方法，对思维要求高，是在平行四边形存在性问题的基础上，把矩形的存在性问题转化为直角三角形存在性问题解决。我们应该力求通过一道模考题的讲解和变化，力求由一道题解决一类题。 一、关于矩形的基础知识 1、什么是矩形？ 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 矩形就是在平行四边形的基础上增加一个角是直角这个比较特殊的条件. 2、矩形具有哪些性质？ 矩形具有平行四边形的所有性质； 矩形的对角线相等； 矩形的四个角都是直角； 矩形是轴对称图形，有两条对称轴. 注：（1）矩形是特殊的平行四边形，也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分； （2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）； （3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. 3、矩形的判定方法 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形； 对角线相等的平行四边形是矩形； 有三个角是直角的四边形是矩形. 二、矩形存在性问题的解题策略 1、在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形，因此，在坐标系中，若AC为矩形ABCD的对角线，则此矩形应满足如下的等式： ； 2、矩形除了可以由平行四边形得到之外，还可以看成是由两个直角三角形组成的，如图所示： 在此基础上，要善于利用直角三角形的性质： （1）两个锐角互余； （2）三边平方的等量关系（勾股定理）； （3）斜边上的中线等于斜边的一半. 三、典例讲解 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A、B两点（点A在点B左侧），经过点A的直线与轴负半轴交于点C，与抛物线另一个交点为D，且. （1）直接写出点A的坐标，并求出直线的函数表达式（其中，k、b用含的式子表示）； （2）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以A、D、P、Q为顶点的四边形能否成矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由. 【解答】，；（2），. 【解析】（1）， 令，解得，， 直线经过点A，，即，， 令，整理得， ，点D的横坐标为4， 直线的函数表达式为； （2）令，即，解得，， ，抛物线的对称轴为，设， ①若AD是矩形的一条边，则，则， 四边形ADPQ是矩形，， ，即， 即，； ②若AD是矩形的一条对角线，则线段AD的中点坐标为， ，， 四边形APDQ是矩形， ，即， 综上，当点P的坐标为或时，以A、D、P、Q为顶点的四边形能成为一个矩形. （2022·贵州黔西·中考真题）二次函数 是否存在某点，使得四边形为矩形 如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线AB与y轴交于点．经过原点O的抛物线交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D． (1)求抛物线的表达式； (2)M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当轴且时，求点M的坐标； (3)P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或 (3)存在，或或或 【详解】（1）解：∵抛物 ... ...