3.1 椭圆 题型01 椭圆的定义 4 题型02 椭圆的标准方程 6 题型03 椭圆的几何性质 8 题型04 椭圆的离心率 10 题型05 直线与椭圆 12 知识点1： 椭圆的定义 1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹． 2．焦点：两个定点F1，F2． 3．焦距：两焦点间的距离|F1F2|． 4．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|． 知识点2： 椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 b2＝a2－c2 知识点3： 椭圆的几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a 焦点 (±，0) (0，±) 焦距 |F1F2|＝2 对称性 对称轴：x轴、y轴 对称中心：原点 离心率 e＝∈(0,1) 知识点4： 直线与椭圆的位置关系 1．联立消去y得到一个关于x的一元二次方程． 2． 直线与椭圆 解的个数 Δ的取值 两个不同的公共点 两解 Δ>0 一个公共点 一解 Δ＝0 没有公共点 无解 Δ<0 1．椭圆定义的应用． (1)椭圆的定义能够对椭圆上的点到焦点的距离进行转化． (2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2，称为焦点三角形，可以用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解． 2．椭圆的标准方程． (1) “定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式． (2) “定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解． 3．由标准方程研究几何性质． (1)将椭圆方程化为标准形式． (2)确定焦点位置． (3)求出a，b，c． (4)写出椭圆的几何性质． 4．由椭圆的几何性质求标准方程． (1)确定焦点位置． (2)设出相应椭圆的标准方程． (3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数． (4)写出椭圆标准方程． 5．椭圆离心率的求解． (1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解． (2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围． 6．直线与椭圆． (1)弦长公式：设直线与椭圆有两个公共点则弦长公式为或． (2)弦中点问题，适用“点差法”． 题型01 椭圆的定义 （2025春 碑林区校级期末）已知动点M（x，y）满足，则动点M的轨迹方程是 ． 【答案】． 【分析】根据椭圆的性质即可求解． 【解答】解：设F1（3，0），F2（﹣3，0），由已知得MF1+MF2＝10＞F1F2＝6， ∴点M的轨迹是以点（3，0）与点（﹣3，0）为焦点的椭圆， 则c＝3，a＝5，故椭圆轨迹方程为：． 故答案为：． 【变式练1】（2025春 南宁月考）已知椭圆，其左右焦点分别为F1，F2.点P是椭圆E上任意一点，则△PF1F2的周长为（ ） A．2 B．4 C．6 D．以上答案均不正确 【答案】C 【分析】由椭圆的定义求解△PF1F2的周长． 【解答】解：因为椭圆E的方程为：， 所以a＝2，b，则c1， 所以△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|＝2a+2c＝6． 故选：C． 【变式练2】（2025 广西开学）设A是椭圆C：上的动点，则点A到C的两个焦点的距离之和为（ ） A．80 B．10 C．20 D．40 【答案】D 【分析】根据椭圆方程可知a＝20，结合椭圆的定义分析求解． 【解答】解：由椭圆C：知：椭圆C的长半轴长为a＝20， 所以点A到C的两个焦 ... ...
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