中小学教育资源及组卷应用平台 线段最值及周长最值问题 第一部分：基础知识储备 1.平面直角坐标系中的水平线段与竖直线段公式 竖直线段：(1)已知点A、B的位置关系则. (2)未知点A、B的位置关系则 水平线段：(1)已知点A、B的位置关系则 (2)未知点A、B的位置关系则 2.抛物线中的竖直线段PQ最值问题解题方法 (1)设出动点P的坐标；(2)表示竖直线段PQ的长；(3)配方求最值. 3.抛物线中的水平线段PM最值问题解题方法 (1)利用三角函数将水平线段转化为竖直线段，在Rt△PQM中， 即 (2)设出动点P的坐标；(3)表示竖直线段PQ的长；(4)配方求最值. 4.抛物线中斜线段PH、QH及△PQH周长最值问题解题方法 (1)利用三角函数将斜线段转化为竖直线段，在Rt△PQH中， 即PH=PQcosα,QH=PQsinα; 故△PQH周长C=PQ+PH+HQ=PQ+PQcosα+PQsinα=(1+cosα+sinα)PQ; (2)设出动点P的坐标；(3)表示竖直线段PQ的长；(4)配方求最值. 归纳总结：三种类型解题思路均为“化斜为直，改邪归正”，水平线段转化为竖直线段，斜线段转化为竖直线段，周长转化为竖直线段. 第二部分 典型例题解析 例1 如图，已知抛物线 与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接AC，点M是线段AC下方抛物线上一点，过点M作y轴的平行线与AC交于点N，求线段MN的最大值. 【解答】当y=0时, 解得 当x=0时, 设直线AC的解析式为y= kx+b, 把A(-3,0),C(0,-3)分别代入得解得 ∴直线AC的解析式为y=-x-3; 设 则N(t,-t-3), ∴MN有最大值，当 时，MN的最大值为 例 2 如图，已知抛物线 与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，连接BC，点P是线段BC上方抛物线上一点，过点P作PM⊥BC于点M，求线段PM的最大值. 【解答】过P点作PQ∥y轴交BC于Q,如图, 当y=0|时， 解得 则B(3,0),A(-1,0), 当x=0时, ,则C(0,3), 设直线BC的解析式为y= kx+b, 把B(3,0),C(0,3)代入得, 解得 ∴直线BC的解析式为y=-x+3, ∵OB=OC=3,∴△OBC为等腰直角三角形,∴∠OCB=45°, ∵PQ∥y轴,∴∠PQM=45°, ∵PM⊥BC,∴△PMQ为等腰直角三角形,. 设 则Q(t,-t+3), 当 时，PM的最大值为 例 3 如图，已知抛物线 与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，点D是直线BC下方抛物线上的动点，过点D作DE∥y轴交BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，求△DEF周长的最大值； 【解答】(1)令x=0,则y=-3,∴C(0,-3),令y=0,则 解得x=3或x=-1,∴A(-1,0),B(3,0),∴OB=OC=3,∴∠OBC=45°, ∵DE∥y轴,∴∠OCB=∠FED=45°, F周长 设直线BC的解析式为 解得 设 则E(t,t-3), ∴当 时，DE的值最大，最大值为 ∴△DEF周长的最大值为 例4 如图，已知抛物线 与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，点D是直线BC下方抛物线上的动点，连接AD交BC于点E，求 的最小值. 【解答】过点D作DF∥y轴交BC于F,过点A作AG∥y轴交BC于G, ∵A(-1,0),直线BC的解析式为y=x-3, ∴G(-1,-4), ∴AG=4, 设 ,则F(m,m-3), 当DF取最大值时， 有最小值， ∴当 时，DF有最大值 有最小值 第三部分 针对训练 练 1 抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P为AC上方抛物线上的动点，过点 P作 于点D，求PD的最大值. 练 2 如图，抛物线 与x轴交于A、B两点,B点坐标为(3,0). 与y轴交于点C(0,3). (1)求抛物线的解析式； (2)点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最大值； 练 3 如图1，在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线 +bx+c经过A，B两点. (1)求抛物线的函数表达式； (2)点M是第二象限抛物线上的点，连接OM交直线AB于点C，设点M的横坐标为m，MC，OC的比值为k，求k与m的函数关系式，并求k的最大值； 练 4 如图，已知抛物线 与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，连接BC，点D是线段BC上方 ... ...
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