中小学教育资源及组卷应用平台 二次函数的区间最值问题 定轴定区间 第一部分：基础知识储备 以二次函数 为例，其中ymax表示y的最大值，ymin表示y的最小值. 1.若自变量x的取值范围为全体实数，当 时,y= ymin,无最大值； 若自变量x的取值范围为某个区间时，利用二次函数的对称性求最值，离对称轴越远的点位置越高，所对应的函数值越大，离对称轴越近的点位置越低，所对应的函数值越小，求二次函数的最值转化成为比较点到对称轴的距离.(开口朝向思路一致，总结为谁离对称轴越远谁就能取到最值) 2.如图(1),若 当x=m时,y=ymax,当x=n时,y= ymin; 3.如图(2),若 当x=m时,y= ymin,当x=n时,y=ymax; 4.如图(3),若m≤x≤n,且 当 当x=n时,y=ymax; 5.如图(4),若m≤x≤n,且 当 当x=n时,y= ymin· 第二部分：典型例题分析 例 1 已知二次函数 在-2≤x≤2时有最小值-2,则m=( ) A.3 B.-3或 C.3或 D.-3或 【解答】∵二次函数 ∴对称轴为直线x=-1， ①m>0，抛物线开口向上， x=-1时,有最小值y=-m+1=-2,解得:m=3; ②m<0，抛物线开口向下， ∵对称轴为直线x=-1,在-2≤x≤2时有最小值-2, ∴x=2时,有最小值y=4m+4m+1=-2,解得: 故选:C. 例 2 已分别求出在下列条件下，函数 的最值： (1)x取任意实数;(2)当-2≤x≤0时;(3)当1≤x≤3时;(4)当-1≤x≤2时. 【解答 ∴当 时，函数的最大值为 无最小值； 在-2≤x≤0右侧,∴当x=0时,函数取得最大值1;当x=-2时,函数取得最小值-13; 在1≤x≤5左侧，∴当x=1时，函数取得最大值2；当x=3时，函数取得最小值-8; 且 ∴当 时，函数取得最大值 当x=-1时，函数取得最小值-4. 第三部分：针对提高训练 练 1 已知二次函数 当-1≤x≤2时，函数的最大值与最小值的差为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 练 2 已知二次函数 当自变量满足-1≤x≤3时，y的最大值为a，最小值为b，则a-b的值为 . 练 3 已知二次函数 (其中x是自变量)，当x≥2时，y随x的增大而减小，且-2≤x≤1时,y的最小值为15,则a的值为( ) A.1或-2 或 C.-2 D.1 练 4 已知二次函数 关于该函数在-2≤x≤2的取值范围内，下列说法正确的是（ ） A.有最大值4，有最小值0 B.有最大值0，有最小值-4 C.有最大值4，有最小值-4 D.有最大值5，有最小值-4 练 5 已知二次函数 当x≤1时，y随x的增大而增大，且-1≤x≤6时，y的最小值为-4,则a的值为( ) A.1 B. 动轴定区间 第一部分：基础知识储备 以二次函数 为例(ymax表示y的最大值，Ymin表示y的最小值) 1.若自变量x的取值范围为全体实数，当 时,y= ymin,无最大值； 2.如图(1),若 当x=m时,y=ymax,当x=n时,y= ymin; 3.如图(2),若 当x=m时,y= ymin,当x=n时,y=ymax; 4.如图(3),若m≤x≤n,.且 当 当x=n时,y=ymax; 5.如图(4),若m≤x≤n,.且 当 当x=n时,y= ymin· 第二部分：典型例题分析 例 1二次函数 (m为常数)，当-1≤x≤2时，函数值y的最小值为-2，则m的值是（ ） 或 或 【解答】由二次函数 (m为常数)，得到对称轴为直线x=m，抛物线开口向上， 当m≥2时,由题意得:当x=2时,y最小值为-2,代入得:4-4m=-2,即 不合题意，舍去;当-1≤m≤2时,由题意得:当x=m时,y最小值为-2,代入得: 即 或m= (舍去);当m<-1时,由题意得:当x=-1时,y最小值为-2,代入得:1+2m=-2,1即 综上，m的值是 或 故选:D. 例 2 已知二次函数 当1≤x≤2时，y随x的增大而减小，则 mn的最大值为（ ） A.4 B.6 C.8 【解答】抛物线 的对称轴为直线 ①当m>1时，抛物线开口向上，∵1≤x≤2时，y随x的增大而减小， 即2m+n≤8.解得n≤8-2m,∴mn≤m(8-2m),m(8-2m)=-2(m-2) +8,∴mn≤8. ②当0≤m<1时,抛物线开口向下,∵1≤x≤2时,y随x的增大而减小, 即m+n≤7, 解得 ∴此情况不存在.综上所述，mn最大值为8.故选：C. 第三部分：针对提高训练 练 1当-2≤x≤1时，二次函数 有最大值4，则实数m的值为（ ） 或 ... ...
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