中小学教育资源及组卷应用平台 二次函数的几何变换 第一部分：基础知识储备 一、平移变换：图像平移变换口诀：“左加右减，上加下减”. (1)顶点式的平移变换 向右平移m(m>0)个单位得到： 向左平移m(m>0)个单位得到： 向上平移n(n>0)个单位得到： 向下平移n(n>0)个单位得到： (2)一般式的平移变换 向右平移m(m>0)个单位得到： 向左平移m(m>0)个单位得到： 向上平移n(n>0)个单位得到： 向下平移n(n>0)个单位得到： 二、对称变换： (1)关于x轴对称 的图像关于x轴对称后，得到的解析式是 的图像关于x轴对称后，得到的解析式是 (2)关于y轴对称 的图像关于y轴对称后，得到的解析式是 的图像关于y轴对称后，得到的解析式是 (3)关于原点对称 的图像关于原点对称后，得到的解析式是 的图像关于原点对称后，得到的解析式是 (4)关于顶点对称 的图像关于顶点对称后，得到的解析式是 的图像关于顶点对称后，得到的解析式是 (5)关于点(m,n)对称 的图像关于点(m，n)对称后，得到的解析式是 三、旋转变换： 在初中阶段不研究二次函数旋转变换。更多的是特殊点绕着特殊点旋转特殊角度，比如旋转90度，就可以构造一线三等角基本模型。旋转180度，就可以利用点对称或者中点坐标公式或者构造中位线相似来解决。 第二部分：典型例题分析 例 1 已知抛物线 ①将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后的抛物线表达式为 ； ②将抛物线平移后使其顶点与原点重合，平移后的抛物线表达式为 ； ③该抛物线关于原点对称的抛物线表达式为 ； ④该抛物线关于x轴对称的抛物线表达式为 ； 关于直线y=1对称的抛物线表达式为 ； ⑤该抛物线关于y轴对称的抛物线表达式为 ； 关于直线x=-2对称的抛物线表达式为 ； ⑥将抛物线绕点(-2，0)旋转180°，则旋转后的抛物线表达式为 . 【解答】 ①将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后的抛物线表达式为y=(x+2m+ 故答案为： ②将抛物线平移后使其顶点与原点重合，则抛物线的表达式为： 故答案为： ③该抛物线关于原点对称，则抛物线表达式为 故答案为： ④该抛物线关于x轴对称的抛物线表达式为： 故答案为： 关于直线y=l对称，则新抛物线的顶点为： 则抛物线表达式为 +4，故答案为：y= +4; ⑤关于y轴对称的抛物线表达式为： 关于直线x=-2对称，则新抛物线的顶点为： 故抛物线表达式为 ⑥将抛物线绕点(-2，0)旋转180°，新抛物线的顶点为： 则旋转后的抛物线表达式为y 故答案为： 例2 直线y=m是平行于x轴的直线，将抛物线 在直线y=m上侧的部分沿直线y=m翻折，翻折后的部分与没有翻折的部分组成新的函数图象，若新的函数图象刚好与直线g=-x有3个交点，则满足条件的m的值为 . 【解答】根据题意∵ ∴顶点为(-4,8), ∴在直线y=m上侧的部分沿直线y=m翻折，翻折后的部分的顶点为(-4，-8+2m)， ∵直线y=-x与抛物线 相交∴交点坐标为(-6,6),(0,0) ∴m=6时，新的函数图象刚好与直线y=-x有3个交点 翻折后的抛物线的解析式为 由题意： 消去y得到： 由题意△=0时,满足条件,∴100-16m=0, 综上所述，m=6或 例 3 如图，将抛物线 的图象位于直线y=4以上的部分向下翻折，得到新的图象(实线部分)，若直线y=-x+m与新图象只有四个交点，则m的取值范围为 【解答】令y=4,则 解得x=3或-1,∴A(-1,4), 平移直线y=-x+m知：直线位于 和 时，它与新图象有三个不同的公共点. ①当直线位于 时，此时 过点A(-1,4),∴4=1+m,即m=3. ②当直线位于 时，此时 与函数 的图象有一个公共点，∴方程 即 有两个相等实根,∴△=1-4(1-m)=0,即 由①②知若直线y=-x+m与新图象只有四个交点，m的取值范围为 故选:A. 例4 如图，抛物线 与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作( 将 向右平移得 与x轴交于点B,D,若直线y=x+m ... ...
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